Almeno 1!

[Triarii]

Dati $x, y, z$ reali compresi positivi minori di $4$, dimostrare che fra i numeri
$$\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {4-y}, \qquad \dfrac {1} {y}+\dfrac {1} {4-z}, \qquad \dfrac {1} {z} +\dfrac {1} {4-x} $$
almeno uno è maggiore o uguale a $1$

[simone256]

Testo nascosto:

Dimostriamo che la somma è maggiore o uguale a $ 3 $:
$ (\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {4-x})+ (\dfrac {1} {y}+\dfrac {1} {4-y})+ (\dfrac {1} {z}+\dfrac {1} {4-z}) \geq 3 $
la funzione $ f(x)=\frac{1}{x} $ è convessa se consideriamo l'intervallo $ [0,4] $ pertanto per le disuguaglianze di Jensen abbiamo che $ \displaystyle f(x)+f(4-x)\geq 2f(\dfrac{x+4-x}{2})= 1 $.
Pertanto:
$ \sum_{cyc}\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {4-x}\geq 3 $

Quindi almeno uno tra gli addendi (i numeri iniziali) sarà $ \geq $ 1.

Magari è sbagliata ma una persona al sabato sera può essere perdonata

[Triarii]

Mi pare giusta (forse era meglio se mettevo questo come staffetta )