OliForum Matematico

Dimostriamo che la somma è maggiore o uguale a $ 3 $:
$ (\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {4-x})+ (\dfrac {1} {y}+\dfrac {1} {4-y})+ (\dfrac {1} {z}+\dfrac {1} {4-z}) \geq 3 $
la funzione $ f(x)=\frac{1}{x} $ è convessa se consideriamo l'intervallo $ [0,4] $ pertanto per le disuguaglianze di Jensen abbiamo che $ \displaystyle f(x)+f(4-x)\geq 2f(\dfrac{x+4-x}{2})= 1 $.
Pertanto:
$ \sum_{cyc}\dfrac {1} {x}+\dfrac {1} {4-x}\geq 3 $

Quindi almeno uno tra gli addendi (i numeri iniziali) sarà $ \geq $ 1.