OliForum Matematico

Siano $\ell$ e $\ell'$ due rette.

• Se $\ell\parallel \ell'$, che trasformazione si ottiene componendo la simmetria rispetto a $\ell$ con la simmetria rispetto a $\ell'$?
• Se $\ell\perp\ell'$, che trasformazione si ottiene componendo la simmetria rispetto a $\ell$ con la simmetria rispetto a $\ell'$?
• Se $\ell\cap\ell'=A$ e $\angle(\ell,\ell')=\alpha$ (angolo orientato), che trasformazione si ottiene componendo la simmetria rispetto a $\ell$ con la simmetria rispetto a $\ell'$?

Conclusione: ogni isometria del piano è composizione di al più tre simmetrie rispetto a rette.

A occhio direi
-traslazione di un vettore con direzione perpendicolare alle due rette, lunghezza doppia della distanza e verso che dipende da quale delle due simmetrie faccio per prima
-simmetria centrale rispetto al punto di intersezione
-rotazione di $2\alpha $ rispetto al punto di intersezione; di nuovo, il verso dipende da quale delle due simmetrie faccio prima
Infine vedo che la simmetria centrale è in realtà una rotazione...
Potrebbe essere istruttivo vedere cosa succede in conti?

Ma io ti amo

Troleito br00tal ha scritto:Ma io ti amo

Probabilmente è a causa della G alla fine del nick e della tua tendenza a leggere le cose al contrario, oltre che il vostro comune apprezzamento per la nobiltà veneziana (Viva il Doge!)

Wow, such psicologo.

Sì vabbeh, ma una dimostrazione o due non farebbero schifo eh... (e poi era davvero inteso come esercizio facile...)

Boh, dato che in sintetica si fa a occhio, facciamoci del male (ma in realtà è circa istruttivo) e risolviamo in complessi...
Dato che ci sono delle simmetrie, usiamo il coniugio; ecco due proprietà banali che userò:
$\overline {a+b} =\overline a+\overline b$
$\overline {e^{i\alpha}}=e^{-i\alpha} $

Primo problema. prendiamo $\ell: \Im (z)=0 $ e $\ell': \Im (z)=d $. Simmetrizziamo un $ x $ rispetto ad $\ell $: è banalmente $\bar x $. Ora dobbiamo simmetrizzare rispetto ad $\ell'$: se trasliamo questa retta in $\ell $, allora $\bar x $ finisce in $\bar x -di $; coniughiamo (? si dice così? ) di nuovo e ritrasliamo in $\ell'$, quindi otteniamo che il nostro $ x $ dopo queste due simmetrie si ritrova in $\overline {\bar x-di}+di=x+2di $, che è ovviamente una traslazione con direzione perpendicolare a quella delle due rete e verso che "va" da $\ell $ a $\ell'$.

Secondo problema. Prendiamo $\ell: \Im (z)=0 $ e $\ell': z=\lambda e^{i\alpha} $ (il punto di intersezione è lo 0 quindi). Simmetrizziamo rispetto a $\ell $, quindi $ x $ va in $\bar x $; spostiamo $\ell'$ in $\ell $ ruotando il tutto, quindi il nostro punto finisce in $\bar x\cdot e^{-i\alpha} $; simmetrizziamo e finiamo in $\overline {\bar x\cdot e^{-i\alpha}} =x\cdot e^{i\alpha}$; riruotiamo $\ell'$ in se stessa e quindi alla fine delle simmetrie il nostro amico $ x $ finisce in $ x\cdot e^{i2\alpha} $, che è appunto una rotazione di $2\alpha $.

<enigma> ha scritto:Conclusione: ogni isometria del piano è composizione di al più tre simmetrie rispetto a rette.

Sarò scemo, ma come fai a ottenere con $3$ simmetrie $(x;y) \rightarrow (-y-1;-x-1)$?

Beh infatti il problema era stato definito very Facile e voleva essere un giochino per chi è alle prime armi in geometria. Comunque non è che in sintetica "si fa ad occhio"... ci vuole un po' di precisione.

Per quanto riguarda l'enunciato di enigma (che onestamente non segue così agilmente dai precedenti, ma anzi, sembra negato da essi, come il tentato controesempio di Troleito sembra suggerire), ecco la risposta al controesempio (che quindi controesempio non è): simmetria rispetto alla retta $x+y=-1$ ?