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Siano \(n,k \in \mathbb{N}_0\) con \(n\) composto e libero da quadrati, e sia \(p= gpf(n)\) (il primo più grande). Calcolare
\[ \frac{p^k!}{n^s} \pmod{n} \]
dove \(s= V_p(p^k!)\).

BONUS:
1. E per un qualsiasi \(t \le s\)?
2. E se \(p \mid n\) ma \(p \neq gpf(n)\)? (la definizione di \(s\) rimane però con il \(gpf(n)\) ).

Forza signori, provate! E' un buon problema, che usa lo stesso principio di

Ho provato a trovarlo ma non ci sono riuscito... cosa vuol dire V_p ?

$ v_p (n) $ è l'esponente di $ p $ (un primo) nella fattorizzazione di $ n $; ad esempio $ v_2 (8)=3 $ oppure $ v_5 (15)=1 $, o $ v_7 (3)=0 $. In particolare se noi consideriamo il numero $\displaystyle\frac n {p^{v_p (n)}} $ vuol dire "togli a $ n $ tutti i fattori $ p $"

Grazie

Dato che mi interessa, non c'è nessuno che lo risolve o almeno da un aiuto?

$ p= gpf(n) $ sarebbe il primo piu grande minore di $ n $ o il primo maggiore di $ n $ e minore di tutti gli altri $ p_i>n $?

"Greatest prime factor", il primo più grande che divide $n$. Per esempio $\operatorname{gpf}(12)=3$ e $\operatorname{gpf}(37)=37$.

$\operatorname{gpf}(1)$ non so bene come si definisce, forse $0$ (ma in ogni caso non serve, era solo un'osservazione per sport).

(nota anche come "la funzione grande puffo")

Ma c'è una soluzione bella o si cerca un risultato in stile produttoria?

Edit: comunque se la soluzione è la produttoria, dovrebbe essere:

Consideriamo un generico primo $ p_i \le P $ che divide $ n $, esso compare in $ p^k! $ con esponente $ \displaystyle [\frac{p^k}{p_i}]+[\frac{p^k}{p_i^2}]+[\frac{p^k}{p_i^3}]+.. $.

Quindi noi cerchiamo $ \displaystyle \prod^m_{i=1} p_i^{r_i} \pmod n $ con $ \displaystyle r_i=[\frac{P^k}{p_i}]+[\frac{P^k}{p_i^2}]+[\frac{P^k}{p_i^3}]+..-([\frac{P^k}{P}]+[\frac{P^k}{P^2}]+[\frac{P^k}{P^3}]..) $ da cui $ \displaystyle r_i=[\frac{P^k}{p_i}]+[\frac{P^k}{p_i^2}]+[\frac{P^k}{p_i^3}]+..-\frac{P^k-1}{P-1} $.

Che come risultato è un po' bruttino, a questo punto ho il dubbio di aver sbagliato qualcosa..