OliForum Matematico

So che il problema è già stato discusso (viewtopic.php?f=16&t=13334), ma nell'altra discussione non si raggiungeva effettivamente la risposta, se consideriamo come rispondere a caso anche lasciare vuota una domanda...

Per chi non avesse voglia di andarlo a guardare, il problema è:
Un test di matematica è costituito da dieci quiz a risposta “sì” o “no”.
Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale -1, ogni risposta omessa vale 0.
Il test è superato se si raggiunge un totale di 6 punti.

(i) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si superi il test?
(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si superi il test?

Ci sto ragionando da giorni e non riesco a venirne a capo...
Se qualcuno vuole dilettarsi e poi spiegarmi cortesemente come sarebbero le formule e perché ci si arriva, mi farebbe un piacere immenso.

L'unica strada percorribile mi sembra quella di trovare una formula per il numero di modi che si hanno di collezionare $ p $ punti con $ n $ risposte e poi applicarla bovinamente alle tre richieste.
Grazie mille in anticipo

trenta3 ha scritto:So che il problema è già stato discusso (viewtopic.php?f=16&t=13334), ma nell'altra discussione non si raggiungeva effettivamente la risposta, se consideriamo come rispondere a caso anche lasciare vuota una domanda...

Per chi non avesse voglia di andarlo a guardare, il problema è:
Un test di matematica è costituito da dieci quiz a risposta “sì” o “no”.
Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale -1, ogni risposta omessa vale 0.
Il test è superato se si raggiunge un totale di 6 punti.

(i) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si superi il test?
(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si superi il test?

Ci sto ragionando da giorni e non riesco a venirne a capo...
Se qualcuno vuole dilettarsi e poi spiegarmi cortesemente come sarebbero le formule e perché ci si arriva, mi farebbe un piacere immenso.

L'unica strada percorribile mi sembra quella di trovare una formula per il numero di modi che si hanno di collezionare $ p $ punti con $ n $ risposte e poi applicarla bovinamente alle tre richieste.
Grazie mille in anticipo

(i) Quando si vuole calcolare la probabilità (di una variabile aleatoria) che su $n$ prove si abbiano $k$ successi e di conseguenza $n-k$ successi avremo:
$p=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
dove $p$ è la probabilità di successo.
Nel nostro caso abbiamo $n=10 k=8 p=1/2$ quindi dalla formula ricaviamo $p=\binom{10}{8}\Big(\frac{1}{2}\Big)^8(1/2)^{2}=\binom{10}{8}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$
(ii) L' unico modo per superare il test è quello di rispondere correttamente o a 10 o a 9 o a 8 domande. Possiamo infatti facilmente osservare che rispondendo correttamente a 7 domande e sbagliandone tre otterremmo $7-3=5$ punti ed il test non sarebbe sufficiente. Basta quindi sommare le probabilità di rispondere correttamente a 8, a 9 e a 10 domande.
Dalla formula precedente ricaviamo:
-risposta giusta a 8 domande $p8=\binom{10}{8}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$
- risposta giusta a 9 domande $p9=\binom{10}{9}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$
- risposta giusta a 10 domande $p10=\binom{10}{10}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$
Quindi $p8+p9+p10= \binom{10}{8}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}+\binom{10}{9}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}+\binom{10}{10}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10} \cdot \Big[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\Big]$

(iii) Stesso ragionamento precedente. Conosco 4 domande quindi ho gia totalizzato 4 punti sicuri. Se si sceglie di rispondere a altre 4 domande gli unici casi favorevoli al superamente del test sono rispondere giusto a 3 domande o rispondere giusto a 4 domande.
Quindi:
-$p3=\binom{4}{3}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4}$
-$p4=\binom{4}{4}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4}$
In tutto ho $p3+p4=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} \cdot \Big[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\Big]$
Non importa contare in quanti modi si possono scegliere 4 domande delle 6 perchè la scelta è una soltanto.

Allora, intanto grazie per la risposta...
Ma dal testo del problema io capisco che per ogni domanda ho tre possibilità: Indovinarla, Sbagliarla, Non Rispondere.
Quindi, ad esempio, per risolvere (i), i modi di collezionare esattamente 8 punti sono:

• A. Indovinarne 8, vuote 2

• B.Indovinarne 9, sbagliarne 1

e, di conseguenza, avrei come probabilità
$ p = \big( \frac{1}{2} \big)^{10} \cdot \big[ \binom{10}{8} + \binom{10}{9} \big] $

Poi, per il (ii), le varie opzioni sono molte di più:

• A. indovinarne 6, vuote 4

• B. indovinarne 7, vuote 3

• C. indovinarne 7, sbagliarne 1, vuote 2

• D. indovinarne 8, vuote 2

• E. indovinarne 8, sbagliarne 1, vuote 1

• F. indovinarne 8, sbagliarne 2

• G. indovinarne 9, vuote 1

• H. indovinarne 9, sbagliarne 1

• I. indovinarne 10

Solo che, essendo un test di ammissione alla Normale, mi aspettavo che piuttosto che dover elencare le varie possibilità e poi fare i conti su queste ultime, bisognasse trovare una formula per il caso generale e poi applicarla per quelli previsti da (i), (ii), (iii).

Spero di essere riuscito ad esprimere bene i miei dubbi

trenta3 ha scritto:Allora, intanto grazie per la risposta...
Ma dal testo del problema io capisco che per ogni domanda ho tre possibilità: Indovinarla, Sbagliarla, Non Rispondere.
Quindi, ad esempio, per risolvere (i), i modi di collezionare esattamente 8 punti sono:

• A. Indovinarne 8, vuote 2

• B.Indovinarne 9, sbagliarne 1

e, di conseguenza, avrei come probabilità
$ p = \big( \frac{1}{2} \big)^{10} \cdot \big[ \binom{10}{8} + \binom{10}{9} \big] $

Poi, per il (ii), le varie opzioni sono molte di più:

• A. indovinarne 6, vuote 4

• B. indovinarne 7, vuote 3

• C. indovinarne 7, sbagliarne 1, vuote 2

• D. indovinarne 8, vuote 2

• E. indovinarne 8, sbagliarne 1, vuote 1

• F. indovinarne 8, sbagliarne 2

• G. indovinarne 9, vuote 1

• H. indovinarne 9, sbagliarne 1

• I. indovinarne 10

Solo che, essendo un test di ammissione alla Normale, mi aspettavo che piuttosto che dover elencare le varie possibilità e poi fare i conti su queste ultime, bisognasse trovare una formula per il caso generale e poi applicarla per quelli previsti da (i), (ii), (iii).

Spero di essere riuscito ad esprimere bene i miei dubbi

Il problema chiede "qual è la probabilità che dando 10 risposte...". Dare 10 risposte significa rispondere "si" o "no" per ogni domanda. Non esiste il caso in cui si lascia una risposta in bianco.

BorisM ha scritto:Il problema chiede "qual è la probabilità che dando 10 risposte...". Dare 10 risposte significa rispondere "si" o "no" per ogni domanda. Non esiste il caso in cui si lascia una risposta in bianco.

Mi sembrerebbe un po' troppo facile per essere un problema di ammissione alla normale, comunque...
Ed il fatto che come opzioni di risposta metta anche "risposta omessa" mi fa pensare.

Adesso però sono curioso di conoscere la risposta al mio problema: Se ammettiamo come risposta anche il non rispondere, quali diventano le probabilità?
Grazie ancora per le risposte