Credo di essere vicino alla soluzione ma non riesco a concludere, sono arrivato a:
$ P(x)= a_nx^n+..a_2x^2+a_1x $
$ (x-a) (\frac{P(x)}{x}+\sum^{n-1}_{k=0} (x^k \cdot \frac{a^k \cdot a_k + a^{k-1}\cdot a_{k-1}...+a^2 \cdot a_2+a \cdot a_1 -2013}{a^{k+1}})=P(x)-2013 $
Pongo l'attenzione su $ \sum^{n-1}_{k=0} (x^k \cdot \frac{a^k \cdot a_k + a^{k-1}\cdot a_{k-1}...+a^2 \cdot a_2+a \cdot a_1 -2013}{-a^{k+1}}) $
Ogni termine della sommatoria deve essere intero (cioè ogni $ \displaystyle \frac{a^i \cdot a_i + a^{i-1}\cdot a_{i-1}...+a^2 \cdot a_2+a \cdot a_1 -2013}{-a^{i+1}} $)
Perchè essi sono i coefficienti del polinomio $ \displaystyle \frac{P(x)-2013}{x-a}-\frac{P(x)}{x} $, che ha coefficienti interi (se questo ragionamento è utile poi scrivo i conti).
Ora visto che ogni $ a_i $ e $ a $ sono fissati all'inizio, vorrei trovare per quali valori di essi quei termini sono sempre interi, penso che a parte $ a=1,-1 $ non ce ne siano altri, perchè mi pare abbastanza "difficile" una cosa del genere...
E solo ora mi viene in mente che questo problema è una trollata assurda (a meno che non mi stia trollando da solo)
Infatti supponiamo per comodità che ogni coefficiente è +1, sia $ N_p $ il numero di x con l' esponente pari e sia $ N_d $ il numero di x con l'esponente dispari, ponendo $ a=-1 $ si ha che $ N_p-N_d=2013 $, quindi $ P(1)=N_p+N_d=2013+2 N_d $ puo essere ogni valore dispari maggiore uguale a 2013
Ora notiamo che possiamo aggiungere $ m $ coppie del tipo del tipo $ -x^{2r+1}-x^{2s} $ e notiamo come il polinomio in -1 vale sempre lo stesso valore, mentre in 1 invece cala di 2 per ogni coppia, dunque anche ogni dispari minore o uguale a 2013
Oppure per dimostrare che il valore puo sempre aumentare a coppie, aggiungiamo $ +x^{2r}+x^{2s+1} $ e notiamo come in -1 rimane invariato, mentre aumenta a coppie quando è 1.
$ P(1) $ quindi puo valere tutti i dispari.
Non puo valere un numero pari, supponiamo ora il polinomi in forma aperta, cioè del tipo $ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_0 $, cioè dove i coefficienti non sono piu pari a 1.
Vale che $ (x-a) q(x)=P(x)-2013 \longrightarrow P(1)=(1-a) q(1) +2013 $, se $ p(1) $ è pari $ a $ deve essere pari, ma se cosi fosse, non potrebbe essere $ P(a)=2013 $ che è dispari dato che $ P(0)=0 $.
Dunque la risposta è "tutti i dispari".
Qualcuno ha idee su come continuare la mia dimostrazione o comunque dimostrare il caso generale, cioè:
trovare tutti i possibili valori di p(x), quando p è un polinomio a coefficienti interi tale che p(0)=0, $ 0≤p(1)<10^5 $ e per cui esiste un intero a tale che p(a)=n. Quanti sono i possibili valori? che alla fine basta togliere 2013 è il mio tentativo di dimostrazione in generale dovrebbe valere ancora..
