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Oun. Esiste un reale positivo $x$ tale che al variare di $n$ in $\mathbb{Z}^+$ la quantità $\lfloor x^2n \rfloor - \lfloor x \lfloor xn \rfloor \rfloor$ è una costante postiva?

Dimostriamo che $x=\phi$, con $\phi=1,618...$ (sezione aurea) va bene.
Si ha $\lfloor {\phi^2n} \rfloor= \lfloor {\phi n + n} \rfloor=n+\lfloor {\phi n} \rfloor$
Dimostriamo ora che si ha $\lfloor {\phi\lfloor {\phi n} \rfloor} \rfloor= \lfloor {\phi n} \rfloor +n-1$.
Abbiamo $\lfloor {\phi\lfloor {\phi n} \rfloor} \rfloor= \lfloor {(1+\frac{1}{\phi}) \cdot \lfloor {\phi n} \rfloor} \rfloor= \lfloor {\lfloor {\phi n} \rfloor+ \frac{1}{\phi} \cdot \lfloor {\phi n} \rfloor} \rfloor=\lfloor {\phi n} \rfloor+\lfloor {\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}} \rfloor$. Quest'ultimo passaggio si ha perche $\lfloor {\phi n} \rfloor$ è intero e quindi si può portare fuori.
E' ora sufficiente dimostrare che $\lfloor {\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}} \rfloor=n-1$, ossia $n-1<\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}<n$.
PARTE 1
$\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}<n$ è vera perchè $\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}<\frac{1}{\phi} \cdot \phi n=n$.
PARTE 2
$\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}>n-1$ è vera perchè $\frac{1}{\phi} \cdot {\lfloor {\phi n} \rfloor}>\frac{1}{\phi} \cdot (\phi n -1)=n-\frac{1}{\phi}>n-1$.
Quindi $\lfloor {\phi^2n} \rfloor-\lfloor {\phi\lfloor {\phi n} \rfloor} \rfloor=1$.

Bella. Come ci sei arrivato?

Culo xD; no dai apparte gli scherzi pensando a qualche x che si comportasse con la parte frazionaria e che permettesse di eliminare quel quadrato!