darkcrystal ha scritto:l'unica radice terza dell'unità
$-1$ non è una radice terza
... comunque (anche se tu hai certamente capito) probabilmente ero stato un po' troppo sintetico, per cui tento di chiarificare un po'. Le unità in $\mathbb{Z}[\omega]$ (cioè gli elementi invertibili, cioè gli oggetti $a \in \mathbb{Z}[\omega]$ per cui esiste un $b \in \mathbb{Z}[\omega]$ tale che $ab=1$) sono le radici seste dell'unità; nella notazione di sopra, bisognerebbe fare i vari casi per $u$ che varia tra tutte le unità. Tuttavia se per caso c'è una soluzione con $u$ allora posso rimpiazzare
\[
u \mapsto -u, v \mapsto -v, a \mapsto -a, b \mapsto -b
\]
e ottenere un'altra soluzione con $-u$. Quindi le sei radici $1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3=-1,\zeta^4,\zeta^5$ possono essere associate a coppie ($1, -1$, $\zeta, -\zeta$, $\zeta^2, -\zeta^2$) e per ogni coppia si può studiare solo uno dei due casi; in questo senso il sistema di Drago aveva "due" casi, perché quello con $u=1$ era già stato trattato e quindi restavano (a meno della riduzione precedente) solo i casi $u=\zeta, u=\zeta^2$.
Secondo punto: perché $3$ non divide $\sqrt{-3}$? Calma e definizioni: un elemento $a=3$ divide un elemento $b=\sqrt{-3}=2\omega+1$ se e solo se esiste un intero di Eisenstein $c$, che scrivo nella forma $d+e\omega$ con $d,e$ interi, tale che $b=ac$, cioè $2\omega+1=3d+3e\omega$. Ma questo è estremamente difficile, visto che in particolare vuol dire $3d=1, 3e=2$: osserva che la
definizione di uguaglianza tra due interi di Eisenstein $a_1+b_1 \omega$, $a_2+b_2 \omega$ è $a_1=a_2$ e $b_1=b_2$. Allo stesso modo $4$ non divide $2$ negli interi perché l'equazione $2=4k$ non ha soluzioni intere.
L'altro approccio - che mi sembra essere il tuo - è mostrare che $\sqrt{-3}$ è irriducibile (e questo è ovvio, perché la sua norma è prima), e quindi primo, e chiaramente $\sqrt{-3}=3a$ contraddice la fattorizzazione unica, visto che LHS ha un solo fattore $\sqrt{-3}$ e RHS ne ha almeno 2. Entrambe le dimostrazioni sono valide, ma la seconda è leggermente più pericolosa, nel senso che mi sembra più facile sbagliarsi nel generalizzare questa che nel generalizzare l'altra. (Esempio scemo, il fatto che $1+i | 1-i$ negli interi di Gauss: se scrivi le definizioni è ovvio, ma ad occhio potrebbe sembrare impossibile, perché entrambi hanno norma 2, quindi sono primi, e sembra strano che uno divida l'altro...)
E ora arriviamo alla domanda veramente difficile, i testi di riferimento... non mi ritengo certo un esperto e sarò ben felice se qualcuno vorrà smentire in parte o totalmente quello che sto per scrivere. Tant'è, proverò a dire qualcosa.
In realtà non credo esista una risposta semplice: il modo "giusto" (almeno, quello che al momento viene considerato il modo giusto) di capire queste cose è fare il giro largo dell'algebra astratta. Ora, questo non è completamente necessario, soprattutto per usi olimpici - salvo che almeno il linguaggio degli anelli è veramente inevitabile, se non vuoi soffrire indicibilmente - ma tutti i libri seri prenderanno quella strada. Quel che è peggio, se vuoi studiare queste cose da olimpionico, è che molti testi tendono ad assumere un punto di vista moderno (stile geometria algebrica) che a lungo andare chiarisce moltissime cose, ma all'inizio è praticamente incomprensibile.
Quindi, premesse queste difficoltà e visto che nella vita olimpica uno ha più che altro a che fare con campi quadratici, il primo consiglio è
http://www.imomath.com/index.php?options=373. Se poi uno vuole proprio insistere, fra i libri di teoria algebrica dei numeri "universitari" che mi vengono in mente, l'unico probabilmente abbordabile è il Marcus ("Number Fields"; probabilmente solo i primi 3 capitoli, e magari gli enunciati del quinto, sempre tenendo conto che sarà
difficile da leggere), che ha anche delle appendici di prerequisiti vari.
Ok, chiudo qui questa risposta chilometrica, e a presto risentirsi
p.s. La prossima volta che qualcuno mi chiama "sommo" smetto di rispondergli
. Inoltre dovrebbe essere vietato fare meta-gioco sulle mie risposte
