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1)Dimostrare che esistono infiniti numeri primi.
 2)Dimostrare che esistono infiniti numeri primi della forma 4n+3
 3)Dimostrare che esistono infiniti numeri primi della forma 4n+1
 4)Dimostrare che nessun primo della forma 4n+3 si può scrivere come somma di due quadrati.
 5)Dimostrare che i primi della forma 4n+1 si possono scrivere coma somma di due quadrati.
 6)Dimostrare che se p è un primo della forma 4n+3 non esiste alcun x tale che x^2==-1 (mod p).
 7)Determinare tutti gli interi positivi che si possono scrivere come somma di due quadrati (di interi).
 
 Dulcis in fundo:
 Se n>1, dimostrare che il campo di spezzamento di x^n-1 sul campo razionale ha grado f(n) dove f è la funzione di eulero.
 
 P.S. Di quest\'ultimo problema se ne gradisce una soluzione elementare.

6)se x^2==-1 (modp), ==> 4 è l\'ordine moltiplicativo di p, ma cio\' è impossobile perchè 4 non divide p-1 cioè 4n+2

4)i residui quadratici mod4 sono solo 1 oppure 0, dunque la somma di due quadrati può essere congrua a 2,1,0 mod 4, ma 4n+3==3 mod 4

2)supponiamo per assurdo che i primi della forma 4n+3 siano finiti
 -se sono pari, li moltiplichiamo tutti tra loro, aggiungiamo 2, ed ecco un numero non divisibile per nessun primo della forma 4n+1(e chiaramente nemmeno della forma 4n+3 precedentemente citato)
 Infatti:
 il prodotto di due num. della forma 4n+1 è infatti ancora un num. della forma 4m+1
 il prodotto di un num. pari di numeri della forma (4n+3) a cui si aggiunge 2 è ancora della forma 4n+3
 -se sono dispari facciamo lo stesso ragionamento di prima ripetendo un numero nella moltiplicazione.

Uuuppp!!!

1) supponiamo che siano finiti, e indichiamoli con p_1,p_2,p_3...p_k
 tutti gli altri numeri naturali saranno quindi composti utilizzando questi primi
 formiamo il prod[p_i] con i che va da 1 a k, e consideriamo il numero
 prod[p_i]+1. esso non è divisibile per nessuno dei primi p_i, perchè dà resto 1 nella divisione per ciascuno di essi, e quindi non può essere composto dai primi p_i ==> assurdo
 *curiosità*:
 -c\'è un\'altra dimostrazione di questo fatto, ad opera di Eulero, che usa la divergenza della serie armonica
 -allargando la prospettiva, c\'è un teorema generale dovuto a Dirichlet, che afferma che in una qualsiasi progressione aritmetica si trovano infiniti numeri primi

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-08 00:12, massiminozippy wrote:
 il campo di spezzamento di x^n-1 sul campo razionale
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 che cos\'è??

ma perchè dite UP?[addsig]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-08 15:57, talpuz wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-08 00:12, massiminozippy wrote:
 il campo di spezzamento di x^n-1 sul campo razionale
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 che cos\'è??
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 il più piccolo campo che contiene tutti gli zeri di quel polinomio.[addsig]

...e allora cos\'è il grado di un campo?
 
 x germania:
 up! voul dire che volevi solo riportare su il post

LEMMA: La congruenza a²==-1 (p) ha soluzione se e solo p=2 oppure p è della forma 4k+1.
 
 DIMOSTRAZIONE: Il solo se (problema 6) è stato mostrato da biagio. Mostriamo il se. Sia g un generatore modulo p. Allora g^phi(p)/2==-1 (p), ovvero g^2k==-1 (p). Imponendo g^k=a abbiamo ciò che si voleva.
 
 COROLLARIO: La congruenza a²==-b² (p) ha soluzioni diverse da 0 se e solo se p è 2 o della forma 4k+1.
 Sia c l\'inverso di b modulo p. Allora a²==-b² implica c²*a²==-1 (p) da cui p=4k+1. Viceversa, se si ha n²==-1 (p), allora (nb)²==-b² (p).
 
 3) Supponiamo che i primi della forma 4k+1 siano finiti. Sia P il prodotto di tutti questi primi. Allora P²+1 non ha fattori primi del tipo 4k+1. D\'altra parte la congruenza P²==-1 (4k+3), ove 4k+3 è primo, è impossibile. Assurdo.
 
 5) Questo è di certo il problema più interessante: una dimostrazione famosa è quella di Eulero, che non trascrivo perchè piuttosto lunga. L\'idea è quella di partire dal notare che per qualche n esistono a,b tali che n*p = a²+b² e far vedere che se n non è 1 allora esiste un n\' < n tale che n\'*p = a\'²+b\'²
 
 7) Cerchiamo di stabilire se l\'equazione n = a²+b² ammette soluzioni al variare di n fra i naturali.
 
 a) Possiamo supporre che n non sia un quadrato perfetto, poichè in tal caso si ha subito la soluzione a=n, b=0
 b) Possiamo supporre MCD(n,a²,b²) non divisibile per quadrati perfetti, poichè altrimenti li possiamo elidere.
 
 Si ha a²==-b² (n). Se n avesse un fattore primo p della forma 4k+3, avremmo in particolare a²==-b² (p), che è risolubile solo se a==b==0 (p). Ma in tal caso MCD (n,a²,b²) sarebbe divisibile per un quadrato perfetto, contro le nostre ipotesi.
 Dunque se un tale n esiste, esso ha come fattori solo il 2 e i primi della forma 4k+1.
 
 Mostriamo che tutti gli n con questo fattorizzazione sono esprimibili come somma di due quadrati.
 Sia n=p1^a1*...*pN^aN. Per la tesi del problema 5), ogni pI è esprimibile come somma di due quadrati.
 Procedendo per induzione, mostriamo che il prodotto di k fattori esprimibili come somma di due quadrati è esso stesso una somma di due quadrati, per ogni k. Fatto questo abbiamo la tesi.
 i) k=1, banale
 ii) Supponiamo che la tesi valga per k-1 fattori. Allora il prodotto di k fattori esprimibili come somma di due quadrati è uguale al prodotto di due somme di quadrati, diciamo A²+B² e C²+D². Ma (A²+B²)*(C²+D²) = (AC-BD)²+(AD-BC)² (la celebre identità euleriana), ergo tesi.
 
 In definitiva, tutti e soli gli n per i quali esistono a,b tali che n=a²+b², sono:
 
 - I quadrati perfetti
 - Gli interi che hanno come fattori solo 2 e primi della forma 4k+3
 - I prodotti di un quadrato perfetto per uno di questi interi

mi dispiace contraddirti lord, sarà un\'errore di distrazione, ma un numero i cui fattori sono 2 e i primi della forma 4k+3 NON è esprimibile come somma di quadrati, a meno che questi ultimi non siano in numero pari!
 controesempio: 6=2*3=???

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-08 20:10, lordgauss wrote:
 Dunque se un tale n esiste, esso ha come fattori solo il 2 e i primi della forma 4k+1.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 in effetti ERA una distrazione... sorry <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

già... scusate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-08 00:12, massiminozippy wrote:
 
 Se n>1, dimostrare che il campo di spezzamento di x^n-1 sul campo razionale ha grado f(n) dove f è la funzione di eulero.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Euler, questo lo avevo scelto per te. Visto che stai risolvendo tanti problemi, quando avrai un pò di tempo, cerca di risolvere anche il mio.
 Sii chiaro ma non troppo ampolloso.
 
 P.S. Ma a quale ramo di ingegneria stai? In che città? Tutto ciò che sai riguardo la matematica, è frutto di studi personali, oppure lo hai studiato all\'università?

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