Un bel problema Balkan: $p, q$ primi
Inviato: 22 feb 2014, 19:39
Problema Balkan del 2004-2
Trovare tutti i primi $p,q$ tali che
$$p^q-q^p=pq^2-19$$
Trovare tutti i primi $p,q$ tali che
$$p^q-q^p=pq^2-19$$
Abbiamo $p^q+19=pq^2+q^p$, ma anche $p^q-pq^2=q^p-19$. Applicando Fermat, dalla prima otteniamo
$q \mid p^q+19 \Rightarrow q \mid p+19$, e dalla seconda, analogamente, $p \mid q-19$
Tenendo presenti questi due risultati, cerchiamo le soluzioni con $q \le 19$:
- $q=2$ implica $p=17$: NON è una soluzione;
- $q=3$ implica $p=2$: è una soluzione;
- $q=7$ implica $p=2$: è una soluzione;
- $q \in \{5,11,13,17 \}$ non ammette nessun valore di $p$ che rispetti entrambe le divisibilità;
- $q=19$ implica $p=19$: NON è una soluzione.
Se invece si avesse $q>19$, seguirebbe $q \le p+19$ e $p \le q-19$, ovvero $q \le p+19 \le (q-19)+19=q \Rightarrow q=p+19$, che è impossibile.
Le uniche soluzioni sono quindi $(2,3)$ e $(2,7)$
