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Own. Alberto e Barbara giocano al GIOCO. Sulla lavagna è scritto un numero $n$, e a turno possono sostituire il numero scritto con il doppio o il triplo dello stesso. Quando uno dei due riceve dall'altro un numero che termina per 76, allora ha perso. Inoltre se entrambi fanno 76 mosse e nessuno ha ancora perso fino a quel punto, allora perdono entrambi.

Considerando che sia Alberto che Barbara giocano le mosse migliori e che piuttosto che perdere da soli preferiscono perdere entrambi, e sapendo che la mossa sta ad Alberto, per quali $n$ Alberto perde? E per quali $n$ perde Barbara?

auron95 ha scritto:Considerando che sia Alberto che Barbara giocano le mosse migliori e che piuttosto che perdere da soli preferiscono perdere entrambi

Non ho capito questa parte xD Le "mosse migliori" sono quindi quelle che portano verso il pareggio? Oppure loro giocano comunque in modo da far perdere solo l'avversario? Cioè se uno dei due giocatori dovesse trovarsi $38$ al primo turno, che mossa farebbe?

Il risultato migliore per ciascuno dei due è che perda solo l'altro, mentre quello peggiore è che perda solo lui; quindi se si parte da 38 Alberto raddoppierebbe e Barbara perderebbe

Si nota anzitutto che $ord_{25} (6) = 5$.
Ora se $n$ è congruo a $1$ modulo $25$ se è anche multiplo di $4$ Alberto ha perso in partenza. Altrimenti perde comunque in $10$ mosse.
Infatti se Alberto moltiplica per $2$, Barbara moltiplica per $3$ e viceversa, col risultato che dopo $10$ turni si otterà un numero multiplo di $4$ e congruo a $1$ modulo $25$ che termina con $76$
(Alberto non può ottenerlo perchè si prova facendo tutti i casi che un numero del tipo $6^k\cdot 2$ o $6^k \cdot 3$ non può essere congruo a $1$ modulo $25$.)
Se Alberto parte con uno congruo a $6$ perde in $8$ mosse, perchè con la stessa strategia Barbara riuscirà a moltiplicarlo per $6^4$.
Se parte con uno congruo a $11 \equiv 6^2$, perde in $6$ mosse, se parte con uno congruo a $16 \equiv 6^3$ perde in $4$ mosse. Se invece parte con uno congruo a $21 \equiv 6^4$ perde o in $2$ mosse se è multiplo di $2$ o in $12$ mosse se era dispari, ma la strategia di barbara sarà sempre la stessa.
Adesso si nota quindi che con tutti i numeri congrui a $1$ modulo $5$ perde Alberto in massimo $12$ mosse. Di conseguenza con tutti i numeri congrui a $2$ o $3$ modulo $5$ Alberto vince (in al più $13$ mosse), perchè moltiplicandoli per $3$ o per $2$ passa a Barbara uno congruo a $1$ con cui si perde.
Se invece il numero di partenza è congruo a $4$, se Alberto lo moltiplica per $2$ passa uno congruo a $3$, se lo moltiplica per $3$ passa uno congruo a $2$, quindi vincerà Barbara in non più di $14$ mosse.
Se invece il numero è multiplo di $5$ perdono entrambi dopo $76$ mosse, perchè non potrà mai terminare con $76$.

Bravo, hai ben perso.