OliForum Matematico

Sia $k\in \mathbb N$
Siano $p=\frac {p_1} {p_2}, q=\frac {q_1} {q_2},m=\frac {m_1} {m_2}, n=\frac {n_1} {n_2}$
Con $p_1,p_2,q_1,q_2,n_1,n_2,m_1,m_2\in \mathbb Z^0$
Trovare $(p,q,n,m,k)$ tali che valga
\begin{equation} (p+q\sqrt {2})^{2k}+(n+m\sqrt {2})^{2k}=5+4\sqrt {2} \end{equation}

Siano $p'+q' \sqrt{2}=(p+q \sqrt{2})^k$ e $n'+m' \sqrt{2}=(n+m \sqrt{2})^k$. Vale quindi $p'^2+2q'^2+n'^2+2m'^2=5$ e $2p'q' \sqrt{2} + 2n'm' \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$. Ma per AM-GM $p'^2+2q'^2 \ge 2p'q' \sqrt{2}$ e $n'^2 + 2m^2 \ge 2n'm' \sqrt{2}$, da cui $5 \ge 4 \sqrt{2}$: assurdo. Pertanto non vi sono soluzioni.

Oppure, coniughiamo entrembi i membri in $\mathbb Q[\sqrt2] $ e otteniamo che una somma di quadrati è negativa...

Giuste entrambe!!

Ho risposto tardi perchè non mi apriva il topic