Dato un quadrilatero convesso $ABCD$, si ponga $S_1=r_{ABC}+r_{ACD}$ e $S_2=r_{ABD}+r_{BCD}$, dove $r_{XYZ}$ indica il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo $XYZ$.
Dimostrare che $S_1=S_2$ se e solo se $ABCD$ è ciclico
Teorema giapponese (caso più semplice)
Teorema giapponese (caso più semplice)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
toh, ci stavo ragionando giusto ieri... questo problema comparve su un fibonacci (ma voi siete troppo giovani per sapere cosa siano), nella forma seguente:
teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto.
teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto.
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Tra l'altro, se non sbaglio, dovrebbe valere in generale per ogni possibile partizione in $n-2$ triangoli aventi i vertici in comune col poligono inizialema_go ha scritto:teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Ho dimostrato solo il "se", mi manca il "solo se" scrivo lo stesso la mia soluzione?
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
direi che mezza soluzione e` meglio di zero soluzioni 
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Certo, anche perché sinceramente ho totalmente dimenticato come si fa il "solo se"...matpro98 ha scritto:Ho dimostrato solo il "se", mi manca il "solo se" scrivo lo stesso la mia soluzione?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Premetto che è la prima volta, per cui non so se faccio bene il latex...
Sia $O$ il centro della circonferenza, che sarà ovviamente il circocentro dei triangoli, $R$ il raggio di questa circonferenza; siano poi $H, I, J, K, L$ i piedi delle altezze da $O$ ad $AC, AB, BC, CD, AD$ rispettivamente.
Considerando $ABC$, per una cosa che ho trovato come teorema di Carnot, abbiamo che $R + r_{ABC} = OH + OI + OJ$, mentre $R + r_{ACD} = -OH + OK + OL$. Sommandole, otteniamo che $2R + r_{ABC} + r_{ACD} = OI + OJ + OK + OL$.
Ripetendo il ragionamento con la diagonale $BD$ troviamo che $2R + r_{ABD} +r_{BCD} = OI + OJ + OK + OL$ da cui $r_{ABC} + r_{ACD} = r_{ABD} + r_{BCD}$.
Sia $O$ il centro della circonferenza, che sarà ovviamente il circocentro dei triangoli, $R$ il raggio di questa circonferenza; siano poi $H, I, J, K, L$ i piedi delle altezze da $O$ ad $AC, AB, BC, CD, AD$ rispettivamente.
Considerando $ABC$, per una cosa che ho trovato come teorema di Carnot, abbiamo che $R + r_{ABC} = OH + OI + OJ$, mentre $R + r_{ACD} = -OH + OK + OL$. Sommandole, otteniamo che $2R + r_{ABC} + r_{ACD} = OI + OJ + OK + OL$.
Ripetendo il ragionamento con la diagonale $BD$ troviamo che $2R + r_{ABD} +r_{BCD} = OI + OJ + OK + OL$ da cui $r_{ABC} + r_{ACD} = r_{ABD} + r_{BCD}$.