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Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 01 mar 2014, 18:27
da spugna
Dato un quadrilatero convesso $ABCD$, si ponga $S_1=r_{ABC}+r_{ACD}$ e $S_2=r_{ABD}+r_{BCD}$, dove $r_{XYZ}$ indica il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo $XYZ$.
Dimostrare che $S_1=S_2$ se e solo se $ABCD$ è ciclico
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 01 mar 2014, 20:47
da ma_go
toh, ci stavo ragionando giusto ieri... questo problema comparve su un fibonacci (ma voi siete troppo giovani per sapere cosa siano), nella forma seguente:
teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto.
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 02 mar 2014, 06:09
da spugna
ma_go ha scritto:teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto.
Tra l'altro, se non sbaglio, dovrebbe valere in generale per ogni possibile partizione in $n-2$ triangoli aventi i vertici in comune col poligono iniziale
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 13 mar 2014, 15:29
da matpro98
Ho dimostrato solo il "se", mi manca il "solo se" scrivo lo stesso la mia soluzione?
Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 20 mar 2014, 13:16
da ma_go
direi che mezza soluzione e` meglio di zero soluzioni

Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 24 mar 2014, 08:27
da spugna
matpro98 ha scritto:Ho dimostrato solo il "se", mi manca il "solo se" scrivo lo stesso la mia soluzione?
Certo, anche perché sinceramente ho totalmente dimenticato come si fa il "solo se"...

Re: Teorema giapponese (caso più semplice)
Inviato: 24 mar 2014, 15:22
da matpro98
Premetto che è la prima volta, per cui non so se faccio bene il latex...
Sia $O$ il centro della circonferenza, che sarà ovviamente il circocentro dei triangoli, $R$ il raggio di questa circonferenza; siano poi $H, I, J, K, L$ i piedi delle altezze da $O$ ad $AC, AB, BC, CD, AD$ rispettivamente.
Considerando $ABC$, per una cosa che ho trovato come teorema di Carnot, abbiamo che $R + r_{ABC} = OH + OI + OJ$, mentre $R + r_{ACD} = -OH + OK + OL$. Sommandole, otteniamo che $2R + r_{ABC} + r_{ACD} = OI + OJ + OK + OL$.
Ripetendo il ragionamento con la diagonale $BD$ troviamo che $2R + r_{ABD} +r_{BCD} = OI + OJ + OK + OL$ da cui $r_{ABC} + r_{ACD} = r_{ABD} + r_{BCD}$.