OliForum Matematico

trovare tutti i quadrati che hanno solo due cifre diverse da 0, di cui una è 3.
<BR>good luck!

Notiamo innanzitutto due cose:
<BR>1) se a1a2a3...an è un quadrato anche a1a2a3...an00 è un quadrato, quindi d\'ora in poi osserveremo solo i quadrati \"primitivi\" che finiscono con 0 (i quadrati non finiscono mai con uno 0)
<BR>2)l\'ultima cifra di un quadrato può essere: 1,4,5,6,9, oltre a 0
<BR>Ora, i quadrati che dovremmo esaminare sono della forma 300...000a, in quanto gli zeri prima del 3 non sono significativi, l\'ultima cifra non è 0 e un quadrato non può finire per 3.
<BR>A questo punto non saprei proprio, ci devo pensare
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

intanto, un quadrato è congruo a 1 modulo 3 oppure a 0 modulo 9, per cui restano come \"ultime cifre\" 1,4 e 6...

così a prima vista direi 36*10^2n con n naturale

mago scusa ma xkè n quadrato dovrebbe essere congruo a 1 mod 3?

1) ma_go e non mago, grazie <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>2) (3m)² == 0 (mod 9)
<BR> (3m+1)² == 1 (mod 3)
<BR> (3m+2)² == 4 == 1 (mod 3)
<BR>e non vedo altri casi.

perchè scomodi quel 9 nella prima congruenza?
<BR>è vero anche che (3m)²==0 mod 3, no?

certo, ma avrei anche un eventuale 9 come ultima cifra.. scomodando il 9 (che automaticamente scomoda il 3) elimino questo 9 e lascio solo il 6.

vabbé raga, sono sincero, questo esercizio non l\'ho risolto per intero <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">, però sono arrivato a dire che se termina con 6, allora non ci sono altri 0 tra il 3 e il 6, altrimanti il quadrato \"primitivo\" sarebbe congruo a 2 mod4.
<BR>ora vediamo un po\' come eliminare l\' 1 e il 4.

ok, dovrei esserci...
<BR>chiedo sin d\'ora venia per la barbaria della mia \"dimostrazione\"...
<BR>dunque, abbiamo scremato i dovuti casi:
<BR>restano i numeri della forma 3*10ⁿ+1, 3*10ⁿ+4, 3*10ⁿ+6...
<BR>prendiamo il caso più semplice: 3*10ⁿ+6 == 2 (mod) 4 se n>1, quindi abbiamo 36 come unica soluzione (naturalmente moltiplicato per 10^2k).
<BR>poi: 30*10ⁿ+1. confrontiamo tutti i numeri di questa forma con i residui quadrati modulo 11 (non scendo qui nei particolari) e otteniamo n pari = 2m. ora, 3*10ⁿ+1 è un quadrato di un intero della forma 10^m+q, con q evidentemente dispari. sviluppiamo tale quadrato, facciamo le dovute considerazioni e troviamo l\'assurdo. identico discorso (con parità invertite) nel terzo caso, il che porta a concludere che tutti e soli i numeri che soddisfano le condizioni date siano quelli della forma 26*10^2k = (6*10^k)²<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 08-12-2003 20:54 ]

rilancio:
<BR>trovare tutti i quadrati di quattro cifre, tali che le prime due siano uguali, e le ultime due anche

Come riscaldamento per Milano faccio, magari (sicuramente) male, questo esercizietto.
<BR>
<BR>Il quadrato è: aabb = 10^3*a + 10^2*a + 10*b + b = 11 (b + 100*a). (0 <= a, b <=9)
<BR>Quindi il quadrato è multiplo di 11, ergo lo è anche la sua base, che è quindi della forma 10*n + n (0<= n <=9). n non può essere dispari: infatti poichè la cifra delle unità del quadrato è dispari, lo deve essere anche quella delle decine, condizione impossibile poichè essa è data da due volte la somma delle unità del prodotto a*a con una volta il riporto di a*a: la prima quantità è pari, la seconda pure.
<BR>Quindi a è necessariamente pari, e rimangono le basi 44, 66, 88, dovendo essere la base compresa fra 32 e 99 perchè il quadrato sia a 4 cifre.
<BR>Non resta (almeno per me, miseramente) che provare e vedere che 88 è l\'unico che soddisfa la condizione.
<BR>
<BR>Si potrebbe anche dire che contenendo il quadrato un fattore 11, deve contenerne 2, quindi 100a + b = 11k, cioè a+b=11h (e per le condizioni su a,b), a+b=11. Ma non saprei partire da qui per risolvere l\'esercizio in maniera più breve e meno macchinosa. <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>Ciao!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 09-12-2003 20:21 ]