44. troppe rotonde...
Inviato: 03 mar 2014, 01:58
il problema non è difficile ma spero che il testo sia chiaro
Ho $n$ macchine posizionate sui vertici di un $n-agono$ regolare (inscritto in una circonferenza di raggio trascurabile) con i vertici numerati da $1$ a $n$. Dal centro dell' $n-agono$ partono $n$ strade rettilinee che incontrano i vertici dell' $n-agono$ e proseguono radialmente. Ogni strada prende il nome del vertice che incontra. Sappiamo inoltre che ci sono $k$ "rotonde" concentriche (con lo stesso centro dell' $n-agono$) con raggi via via crescenti.
A questo punto tutte le macchine entrano nella prima rotonda dalla strada su cui si trovano inizialmente e, una volta entrate, iniziano a girare perdendo l'orientamento e dimenticandosi così da che strada sono arrivate. Tuttavia vogliono proseguire il loro percorso per superare tutte le rotonde (ovvero devono entrare in ogni rotonda per poi proseguire a quella successiva fino ad oltrepassare la $k-esima$ ) e quindi imboccano una strada a caso che le condurrà alla rotonda seguente. L'unica cosa che sanno è che due macchine distinte non possono uscire da una rotonda per una stessa strada.
Arrivano così alla seconda rotonda ed iniziano a girare... (tutto si ripete come prima)
Continuano in questo modo fino a superare la $k-esima$ rotonda.
Qual è la probabilità $p$ che tutte le macchine arrivino in fondo (ovvero superino la $k-esima$ rotonda) entrando in ogni rotonda da una strada e uscendone da un'altra?
Calcolare $\lim_{k \to \infty} {k(p^{- \frac{1}{k^2}} -1 )} $
Ho $n$ macchine posizionate sui vertici di un $n-agono$ regolare (inscritto in una circonferenza di raggio trascurabile) con i vertici numerati da $1$ a $n$. Dal centro dell' $n-agono$ partono $n$ strade rettilinee che incontrano i vertici dell' $n-agono$ e proseguono radialmente. Ogni strada prende il nome del vertice che incontra. Sappiamo inoltre che ci sono $k$ "rotonde" concentriche (con lo stesso centro dell' $n-agono$) con raggi via via crescenti.
A questo punto tutte le macchine entrano nella prima rotonda dalla strada su cui si trovano inizialmente e, una volta entrate, iniziano a girare perdendo l'orientamento e dimenticandosi così da che strada sono arrivate. Tuttavia vogliono proseguire il loro percorso per superare tutte le rotonde (ovvero devono entrare in ogni rotonda per poi proseguire a quella successiva fino ad oltrepassare la $k-esima$ ) e quindi imboccano una strada a caso che le condurrà alla rotonda seguente. L'unica cosa che sanno è che due macchine distinte non possono uscire da una rotonda per una stessa strada.
Arrivano così alla seconda rotonda ed iniziano a girare... (tutto si ripete come prima)
Continuano in questo modo fino a superare la $k-esima$ rotonda.
Qual è la probabilità $p$ che tutte le macchine arrivino in fondo (ovvero superino la $k-esima$ rotonda) entrando in ogni rotonda da una strada e uscendone da un'altra?
Calcolare $\lim_{k \to \infty} {k(p^{- \frac{1}{k^2}} -1 )} $
Testo nascosto:
