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(semplice semplice) Dati \(p,q\) primi e \(t\) naturale, dimostrare che se un \(r\) primo è tale che
\[ r \mid \frac{t^{pq}-1}{t^q-1}\]
allora o \(r \mid t^p-1 \) o \(pq \mid r-1\).
EDIT: \(p,q,r\) distinti!
EDIT dell'EDIT : Oppure anche non distinti ma come risultato può anche essere \(r=p\) oppure \(r=q\).

Uhm, probabilmente avrò sbagliato ad interpretare il testo, però

Scusa, ho editato!

Non so se si fa anche in altro modo, ma io ho usato una proprietà molto interessante dei ciclotomici...

Io l'ho fatto solo con metodi elementari! Però mi pare si potesse fare anche con il lemma di Von Chausen o con il teorema di Van Kampen, ma sinceramente non ho provato..

Sia $k=ord_r(t)$
Essendo, per il Piccolo Teorema Di Fermat, $t^{r-1}\equiv 1\pmod r$
Avremo $k\mid r-1$
Se vale la tesi avremo $t^{pq}\equiv 1\pmod r$
Ma allora deve essere $k\mid pq$
Da cui i casi
$k=p$
$k=q$
$k=1$
$k=pq$

Nel primo caso e nel terzo vale $r\mid t^p-1$
Dal quarto caso otteniamo $pq\mid r-1$
Dal secondo caso abbiamo $v_r(t^{pq}-1)=v_r(t^q-1)+v_r(p)>v_r(t^q-1)$
Da cui $r\mid p$
Da cui $r=p$