$\sum_{i=1}^k\frac{1}{d_i+\sqrt{n}}$
Inviato: 12 mar 2014, 01:49
Sia dato un intero positivo $n$ con $k$ divisori $d_1,\ldots,d_k$. Calcolare $$\sum_{i=1}^k\frac{1}{d_i+\sqrt{n}}$$
Mi servirò della stessa strategia usata da Gauss alle elementari, ovvero esplicito la sommatoria scrivendola per esteso in riga, e sotto il termine $\frac{1}{d_i+\sqrt{n}}$ metto il suo "complementare" $\frac{1}{d_{k+1-i}+\sqrt{n}}$, in modo che $d_i\cdot d_{k+1-i}=n$.
Sommo dunque un termine generico con il suo complementare così posizionato:
$$\frac{1}{d_i+\sqrt{n}}+\frac{1}{d_{k+1-i}+\sqrt{n}}=\frac{(d_i+d_{k+1-i})+2\sqrt{n}}{d_id_{k+1-i}+(d_i+d_{k+1-i})\sqrt{n}+n}=\frac{(d_i+d_{k+1-i})+2\sqrt{n}}{(d_i+d_{k+1-i})\sqrt{n}+2n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$$
Visto che di termini così ne abbiamo $k$, la "sommatoria ausiliaria" $2\sum_{i=1}^k \frac{1}{d_i+\sqrt{n}}$ varrà dunque $\frac{k}{\sqrt{n}}$, e quindi la sommatoria che stiamo cercando sarà:
$$\sum_{i=1}^k \frac{1}{d_i+\sqrt{n}}=\frac{k}{2\sqrt{n}}$$
