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Own, purtroppo. Sia $p \equiv 1 \pmod{3}; p \not \equiv 7 \pmod{8}$ primo. Sia $1 \le n \le p$ un intero positivo e sia $a_0=n;a_{i+1}=a_i^2-2$. Determinare in funzione di $p$ per quanti valori di $n$ esiste un $k$ tale che $a_{k+1} \equiv a_k \pmod{p}$.

Ma davvero sei così crudele che \(p \equiv 1 \pmod{3}\),oppure è un typo e volevi scrivere \(p \equiv 2 \pmod{3}\)?

È più facile? Wow figo, io ho risolto con $1$ e non con $2$

Disclaimer: il conto l'ho fatto un po' di fretta, quindi potrei essermi sbagliato. Comunque, rilancio: mostrare o che mi sono sbagliato, o che per ogni primo vale
\[
\left|\left\{\mbox{cose che vuol contare Troleito} \right\}\right|= \frac{\left(p+1,3\cdot 2^{\infty}\right) + \left(p-1,3\cdot 2^{\infty}\right)}{2},
\]
dove $\left(n,3\cdot 2^{\infty}\right)$ vuol dire il più grande intero positivo che divide sia $n$ che almeno un intero della forma $3 \cdot 2^k, k \in \mathbb{N}$ (equivalentemente, la più grande potenza di 2 che divide $n$ moltiplicata per $(n,3)$)

Have fun !

darkcrystal ha scritto:Disclaimer: il conto l'ho fatto un po' di fretta, quindi potrei essermi sbagliato. Comunque, rilancio: mostrare o che mi sono sbagliato, o che per ogni primo vale
\[
\left|\left\{\mbox{cose che vuol contare Troleito} \right\}\right|= \frac{\left(p+1,3\cdot 2^{\infty}\right) + \left(p-1,3\cdot 2^{\infty}\right)}{2},
\]
dove $\left(n,3\cdot 2^{\infty}\right)$ vuol dire il più grande intero positivo che divide sia $n$ che almeno un intero della forma $3 \cdot 2^k, k \in \mathbb{N}$ (equivalentemente, la più grande potenza di 2 che divide $n$ moltiplicata per $(n,3)$)

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Dovrebbe essere vero (o almeno, anche a me veniva una cosa molto simile)! Ho messo le condizioni su $p$ perché ho trovato un modo totalmente elementare per farlo solo con quelle condizioni:)

Oppure hai un modo elementare per farlo?

Qualche hint? Ho risolto l'equazione iniziale mod p, però poi se continuo mi viene fuori una specie di catena infinita di possibilità che non si ferma più...

È vero che esiste ancora questo problema!

Hint

Oh wow è quella che avevo pensato, ed ero arrivato molto vicino al bonus di darkcrystal... la riguardo un po', poi posto qualcosa

Up? Diamo un hint peso:

Diciamo che $x$ è bello se esiste $\lambda$ tale che $x=\lambda+\frac{1}{\lambda}$. Ora, questa cosa si può fare se solo se $x$ è radice di una certa equazione di secondo grado. Dimostriamo ora che, a parte casi particolari, $x$ è bello se e solo se $x^2-2$ è bello. E da qui si dovrebbe concludere (generatori).

Ci fermiamo qui?

Ho postato un altro problema per la staffetta. Fra qualche giorno scrivo la soluzione di questo.