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Ciao a tutti!
Sono in quinta e stiamo facendo gli integrali. Oggi all' interrogazione mi è stato chiesto di calcolare il seguente:
$ 1/(x^4-8x^2+16) $
Avendo notato che questo fosse un quadrato perfetto lo ho messo in evidenza ed in seguito essendo esso ancora scomponibile lo ho scritto come:
$((x-2)(x+2))^2$
Ho quindi pensato di poter introdurre delle variabili A B C D trovando dei valori che però non mi hanno portato alla soluzione. Ho provato anche considerando solamente due variabili A e B con denominatori rispettivamente $(x^2-4)$ ed il suo quadrato$(x^2-4)^2$ ma anche in questo modo non c' è stato verso. Idem integrando per parti o cercando di risolverlo con una qualche sostituzione.
Anche i docenti hanno esitato su questo problema fino ad arrivare a dire che sicuramente un modo per risolverlo è per mezzo del seno iperbolico.
Il nostro libro di testo tuttavia non tratta di esso quindi è rimasta la certezza che vi deve essere un altro metodo per risolvere l' integrale che non prevede il suo uso.
Qualcuno sa proporre una soluzione alternativa?
Grazie mille in anticipo per le risposte !

Scrivi bene quella funzione perlomeno se no non è molto chiaro. In ogni caso, se intendi $\frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2}$, quella si fa con funzioni elementari (http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... 95tp5a09aj), quindi il seno iperbolico non c'entra un cavolo. Quello che ti serve è un caso speciale della decomposizione in frazioni parziali che si verifica quando hai radici multiple: nel dettaglio, dovresti riuscire a risolvere per $a,b,c,d$
$$
\frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}.
$$

fph ha scritto:Scrivi bene quella funzione perlomeno se no non è molto chiaro. In ogni caso, se intendi $\frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2}$, quella si fa con funzioni elementari (http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... 95tp5a09aj), quindi il seno iperbolico non c'entra un cavolo. Quello che ti serve è un caso speciale della decomposizione in frazioni parziali che si verifica quando hai radici multiple: nel dettaglio, dovresti riuscire a risolvere per $a,b,c,d$
$$
\frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}.
$$

Grazie mille per l' aiuto! In questo modo non avevamo provato ed il libro non analizzava questo caso
Scusa se ho scritto male la funzione ma con il Latex sono sempre alle prime armi.. così come con gli integrali a quanto vedi..

in questo caso si fa anche a mano. lo so che a fph piacciono i sistemi lineari, ma se si possono evitare secondo me e` meglio

dunque, in questo caso io farei cosi`. intanto scriverei $1 = 4/4$ e $4 = (x+2)-(x-2)$, quindi (chiamando $I$ l'integrale che stai cercando):
$$I = \frac14\int\frac4{(x-2)^2(x+2)^2}dx = \frac14\int\frac{x+2}{(x-2)^2(x+2)^2}dx-\frac14\int\frac{x-2}{(x-2)^2(x+2)^2}dx$$
adesso ci siamo ridotti a cercare gli integrali $I_1$ e $I_2$ definiti rispettivamente da
$$I_1 = \int\frac1{(x-2)^2(x+2)}dx$$
e
$$I_2 = \int\frac1{(x-2)(x+2)^2}dx$$
pero` possiamo semplicemente riusare lo stesso trucchetto, e ricondurci agli integrali di $\frac1{(x-2)^2}$, $\frac1{(x-2)(x+2)}$ e $\frac1{(x+2)^2}$. i due estremi si integrano elementarmente, e quello in mezzo si fa usando lo stesso trucchetto (questo l'avevi gia` visto, forse?).