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Un numero naturale è scritto su una lavagna. Due giocatori $A$ e $B$ a turni possono fare una delle seguenti mosse (una per turno)
1) Rimpiazzare il numero $n$ scritto sulla lavagna con $n-1$
2) Rimpiazzare $n$ con $\displaystyle \lfloor (n+1)/2 \rfloor$
Vince il giocatore che per primo scrive $1$. Il primo a giocare è $A$.
Se il numero iniziale è $1000000$, chi dei due giocatori vince con le mosse giuste?

Penso che con tutti i pari vinca il primo. Perchè ad esempio se per un certo $k$ con $2k$ vince il secondo, vuol dire che con $2k-1$ e $k$ vinceva il primo.
In particolare se con $2k-1$ vince il primo, con uno tra $2k-2$ e $k$ vince il secondo, ma con $k$ vince il primo, quindi con $2k-2$ vince il secondo. Questo vuol dire che il secondo vince con tutti i pari minori di $2k$ ma già dai primi casi si nota che non accade.
Mentre con $68719476735$ chi vince?

Sì la risposta è corretta Appena ho un po' di tempo scrivo la mia soluzione.
Per rispondere alla tua domanda

Mannaggia! Non l'avevo mica capito che si poteva raggirare così bene!
Io ero andato a pescare $2^{36}-1$ per sfruttare il fatto che se il secondo vince con $k$ vince anche con $2k+1$ xDD