OliForum Matematico

Forse è un problema noto, ma non trovavo nient' altro..
Su un piano cartesiano è disposta una rete metallica costituita da fili rettilinei che, incrociandosi
perpendicolarmente, formano quadrati di lato unitario. La rete è disposta con i fili paralleli agli assi
e gli incroci in punti con coordinate intere.
Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso ogni incrocio quale direzione prendere, ma sempre
nel verso positivo degli assi.

(a) La formica ha percorso un cammino dall'origine $ (0,0) $ al punto $ (m,n) $ , con $ m,n>0 $ . Qual è la probabilità
che sia passata per un dato punto $ (i,j) $ ?

(b) Per quali punti $ (i,j) $ tale probabilità è minima ma non nulla?

(a) Si tratta di considerare il rettangolo delimitato da $(0,0)$ e $(i,j)$ e quello delimitato da $(i,j)$ e $(m-i, n-j)$.
Bisogna quindi moltiplicare i percorsi validi in entrambi i rettangoli che sono $\displaystyle \binom{i+j}{i} \binom{m+n-i-j}{m-i}$
Quelli totali sono $\displaystyle \binom{m+n}{m}$
Ciò è dovuto al fatto che ogni volta può andare o a destra o verso l'alto, quindi si tratta di anagrammare queste due scelte diverse.
La probabilità è quindi data da $\displaystyle \frac{ \binom{i+j}{i} \binom{m+n-i-j}{m-i}}{ \binom{m+n}{m}}$

(b) E' minima agli estremi, ovvero nei punti $(0, n)$ e $(m,0)$ perchè c'è solo un percorso valido che passa per quei punti, la scelta è sempre obbligata. In tutti gli altri casi i percorsi validi sono sempre più di 1.

Giusta vai pure col prossimo.

Intanto ne approfitto per chiedere un dubbio atroce che mi stava venendo! (ma forse sto chiedendo una nabbata xDD )

Il problema 13 qua: http://www1.mat.uniroma1.it/didattica/o ... quadre.pdf
e la sua soluzione: http://www1.mat.uniroma1.it/didattica/o ... quadre.pdf

E' chiaro che i due risultati non coincidono, come si spiega?

[edit]forse nel problema della gara non si aveva la certezza che paolino raggiunge l'opposto.... bella trollata....

Premetto che non ho guardato la soluzione, ma mi verrebbe, ovviamente casi totali $ \binom{20}{10} $
I casi favorevoli dovrebbero essere, per il principio di inclusione-esclusione, i casi totali meno i casi i cui passa per $ F $ meno i casi in cui passa per $ M $ più i casi in cui passa sia per $ F $ che per $ M $.
Passando ai numeri, i casi favorevoli sono $ \binom{20}{10} – \binom{2}{1} \cdot \binom{18}{9} – \binom{10}{5} \cdot \binom{10}{5} + \binom{2}{1} \cdot \binom{8}{4} \cdot \binom{10}{5} = 184756 – 97240 – 63504 + 35280= 59556 $
Ed i casi totali erano $ 184756 $
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \dfrac{59556}{184756}=\dfrac{14889}{46189} $ . Ma potrei aver sbagliato dei conti...

Ok, ora leggi la soluzione e..... buona troll math
Però effettivamente mi hanno fatto notare che anche nel mio caso i percorsi non sono tutti equiprobabili... quindi il dubbio mi rimane!

Non saprei... ora la ho letta..