OliForum Matematico

Vogliamo colorare di blu alcuni punti del piano.

a) È possibile farlo in modo che ogni circonferenza di raggio 1 abbia esattamente un punto blu?
b) È possibile farlo in modo che ogni circonferenza di raggio 1 abbia esattamente due punti blu?

Vediamo se ho capito:

a) No. Prendo una circonferenza con un punto blu, traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu. Ma quei due punti blu hanno distanza $1$, quindi possono prendere una circonferenza che li contiene entrambi e avrà $2$ punti blu.

b) Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza $2$. Ogni circonferenza interseca o una sola striscia in due punti, oppure due strisce diverse in un punto ciascuna.

OK è giusto. Il problema era stupidissimo, ma al momento non ho niente di meglio da proporre che non sia troppo noto di combinatoria

Io questi problemi non li capisco mai.

xXStephXx ha scritto: traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu.

Perché deve averne un altro?

xXStephXx ha scritto: Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

Hawk ha scritto:

xXStephXx ha scritto: Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

Perché infiniti?

I punti che stanno nella circonferenza sono infiniti no?

E per la mia domanda del punto a?

Hawk ha scritto:Io questi problemi non li capisco mai.

xXStephXx ha scritto: traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu.

Perché deve averne un altro?

Sta ragionando per assurdo: dato che su ogni circonferenza c'è esattamente un punto blu, allora in particolare anche quella di centro un punto blu ha un punto blu su di essa.

Hawk ha scritto:

xXStephXx ha scritto: Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

Solo due punti blu: quelli dove interseca la retta.

Aaaah, avevo capito che i punti dovevano stare nel cerchio e non solo sulla circonferenza!!
Grazie mille, adesso ho tutto chiaro!!