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L'incerchio di un triangolo $ABC$ tocca i lati $BC$, $CA$, e $AB$ nei punti $D$, $E$ e $F$, rispettivamente. Sia $K$ il simmetrico di $D$ rispetto all'incentro. Le rette $DE$ e $FK$ si intersecano in $S$. Dimostrare che $AS$ è parallela a $BC$.

Sia $X$ l'intersezione di $ES$ con il prolungamento di $BC$. La tesi è equivalente a dimostrare che $\angle ASX\cong \angle BXS$, in quanto gli angoli sarebbero alterni interni rispetto alle rette $AS$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $SX$.
Ora, $\angle EDX\cong \angle EKD$ perché insistono sullo stesso arco, e ciò implica $\angle DXE\cong \angle EDK$ perché complementari di angoli congruenti. Ma allora, visto che $\angle SEA\cong \angle KDE\cong \angle KFE$ perché insistono sullo stesso arco, vale la relazione $\angle SEA\cong\angle KFE\cong \angle KDE\cong \angle DXE $, . Prolungando $DE$ ed $FK$ e chiamando la loro intersezione $Y$, è immediato verificare che $\angle FYD\cong \angle ESD$ perché complementari dello stesso angolo $\angle SDY$, dunque $SFEY$ è ciclico. Ma allora vale $\angle ASE\cong \angle YFE\cong \angle KDE\cong \angle DXE$ sempre per considerazioni sugli angoli alla circonferenza, la tesi è quindi dimostrata.
EDIT: ho visto adesso che ho confuso i dati, infatti quando hai scritto $DE$ ed $FK$ ho letto $EK$ e $DF$, ma visto che la costruzione è simmetrica, dovrei aver dimostrato lo stesso la tesi originale.

OK mi sembra giusto Scusate il ritardo
Puoi andare con il prossimo

Si può anche andare con le polari volendo fare del male al problema