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Siano $ABC$ un triangolo, $K$ il piede della bisettrice dell'angolo in $A$, $\omega_1$ una circonferenza di centro $O_1 \in AC$ tangente ad $AB$ e $BC$, e $\omega_2$ una circonferenza di centro $O_2 \in AB$ tangente ad $AC$ e $BC$. Dimostrare che $\omega_1$ è tangente ad $AK$ se e solo se lo è $\omega_2$

Mi incuriosisce... solo una domanda: si dimostra con la trigonometria? Perché ancora non ne so quasi niente XD

matpro98 ha scritto:Mi incuriosisce... solo una domanda: si dimostra con la trigonometria? Perché ancora non ne so quasi niente XD

No, basta guardare nel punto giusto e si fa in un attimo

Ok non avevo neanche fatto il disegno, perché non sapevo se fossi stato capace a risolverlo

Le circonferenze non possono essere tangenti ai prolungamenti di $ AB,BC,AC $ vero?

wall98 ha scritto:Le circonferenze non possono essere tangenti ai prolungamenti di $ AB,BC,AC $ vero?

In realtà possono, ma questo non complica di molto il problema

Ci provo

Innanzitutto $BC$ deve essere ottusangolo in $A$, perché altrimenti le due circonferenze sarebbero secanti ad $AK$.
Chiamiamo $H_1$ e $H_2$ i piedi delle perpendicolari da $O_1$ ad $AB$ e $AK$ rispettivamente; $Q_1$ e $Q_2$ i piedi da $O_2$ ad $AC$ e $AK$ rispettivamente.
I triangoli $AO_1H_1$ e $AO_2Q_1$ sono simili perché hanno un angolo retto entrambi e gli angoli in $A$ congruenti perché opposti al vertice. In modo simile possiamo dire che anche $AO_1H_2$ e $AO_2Q_2$ Dalla similitudine possiamo dire che se $\omega_1$ (non so se ho scritto bene in latex) è tangente ad $AK$, allora $O_1H_2$ sarà simile ad $O_2Q_2$ con lo stesso rapporto di $O_1H_1$ e $O_2Q_1$, da cui la tangenza di $\omega_2$.
Allo stesso modo, se $\omega_1$ non è tangente, il suo raggio sarà maggiore o minore di $O_1H_2$, come il raggio di $\omega_2$ sarà maggiore o minore di $O_2Q_2$.
Spero sia giusta

OK! Solo una piccola cosa

matpro98 ha scritto:se $\omega_1$ (non so se ho scritto bene in latex) è tangente ad $AK$, allora $O_1H_2$ sarà simile ad $O_2Q_2$ con lo stesso rapporto di $O_1H_1$ e $O_2Q_1$, da cui la tangenza di $\omega_2$

per caso intendevi dire che $\dfrac{O_1H_2}{O_2Q_2}=\dfrac{O_1H_1}{O_2Q_1}$ e che quindi da $O_1H_1=O_1H_2$ segue $O_2Q_1=O_2Q_2$?

Ma sbaglio o non ci sono così tanti triangoli che soddisfano l'ipotesi?

Troleito br00tal ha scritto:Ma sbaglio o non ci sono così tanti triangoli che soddisfano l'ipotesi?

No, non ti sbagli... infatti la mia soluzione passava per il capire quali sono

spugna ha scritto:OK! Solo una piccola cosa

matpro98 ha scritto:se $\omega_1$ (non so se ho scritto bene in latex) è tangente ad $AK$, allora $O_1H_2$ sarà simile ad $O_2Q_2$ con lo stesso rapporto di $O_1H_1$ e $O_2Q_1$, da cui la tangenza di $\omega_2$

per caso intendevi dire che $\dfrac{O_1H_2}{O_2Q_2}=\dfrac{O_1H_1}{O_2Q_1}$ e che quindi da $O_1H_1=O_1H_2$ segue $O_2Q_1=O_2Q_2$?

Sì, quello

spugna ha scritto:

Troleito br00tal ha scritto:Ma sbaglio o non ci sono così tanti triangoli che soddisfano l'ipotesi?

No, non ti sbagli... infatti la mia soluzione passava per il capire quali sono

Se non mi sbaglio sono i triangoli con l'angolo in $A$ di 120°

matpro98 ha scritto:Se non mi sbaglio sono i triangoli con l'angolo in $A$ di 120°

Non ti sbagli neanche tu... era un problema davvero idiota