funzionale...

[Drago96]

Trovare tutte le $ f:\mathbb R\to \mathbb R $ tali che $$ f (f (x+y))=f (x+y)+f(x) f (y)-xy $$

[Draco76]

$P(0,0)$:
$f(f(0))=f(0)+f(0)^2$
$P(f(0),-f(0))$:
$f(f(0))=f(0)+f(f(0))f(-f(0))+f(0)^2$
Usando astutamente l'espressione ricavata sopra:
$f(0)+f(0)^2=f(0)+f(f(0))f(-f(0))+f(0)^2$
$0=f(f(0))f(-f(0))$
Quindi o $f(f(0))=0$ o $f(-f(0))=0$ oppure 0 è un valore intrinseco stante ad indicare l'attimo sfuggente.
In entrambi i casi, noncurante del fatto che ci sono pochissimi cannoni, uso $P(0,\pm f(0)$
$f(f(0+\pm f(0)))=f(0+\pm f(0))+f(0)\cdot f(\pm f(0))-0\cdot (\pm f(0))$
$f(0)=0+0-0$
Ergo $f(0)=0$.
$P(x,0)$
$f(f(x+0))=f(x+0)+f(0)f(x)-0\cdot f(x)$
$f(f(x))=f(x)$, da cui $f(f(x+y))=f(x+y)$. L'equazione iniziale diventa:
$xy=f(x)f(y)$
Da cui si ricava che $f(x)$ è iniettiva per assurdo (ovvero che esistono $x_1\neq x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ ).
Usando l'iniettività, da $f(f(x))=f(x)$ ricavo $f(x)=x$.
Sostituisco e vedo che funziona ($x+y=x+y+xy-xy$).