Sette non è un numero perfetto
Inviato: 20 apr 2014, 12:36
Si trovino tutte le coppie $ (a,b) $ di interi, con $ 7<b<a $, per cui esiste un polinomio $ p(x) $ a coefficienti interi tale che $ p(a)=0 $, $ p(b)=85 $, $ p(7)=77 $.
$p(x)=a_nx^n+\ldots +a_1x+a_0$
$p(k)-p(m)=a_n(k^n-m^n)+\ldots +a_1(k-m)$
$k-m\mid p(k)-p(m)$
Quindi
$b-7\mid 8$
$a-7\mid 77$
$a-b\mid 85$
Con
$7<a<b$
Da cui
$b=8,9,11,15$
$a=8,14,18,84$
$a-b=1,5,17,85$
Da cui l'unica coppia possibile
$(14,9)$