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(Su ispirazione di elianto84, da matemate.it) Siano \(p,q\) due polinomi di grado \(n\) con coefficienti \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) e \(b_0, b_1, \ldots, b_n\). Sia
\[S_k = \sum_{0 \le i \le j \le k} (-1)^i \frac{ p(i) q(k-j)}{i!(k-j)!} \]
Dimostrare che esistono \(c_0, \ldots, c_n, d_0, \ldots, d_n \in \mathbb{Z}\) tali che, per ogni \(k \ge n\), valga
\[ S_k = \left ( \sum_{i=0}^n c_i a_i \right ) \cdot \left ( \sum_{i=0}^n d_i b_i \right )\]
P.S. Come corollario, se \(p,q \in \mathbb{Z}[x]\) allora \(S_k\) oltre ad essere costante è intero.
Sono un mendace. Ho corretto, i coefficienti non sono gli stessi.
BONUS: trovare esplicitamente \(c_i, d_i\).

Forse sto delirando, ma non ho capito se i $c_i$ dipendono da $k$ o no. Perchè per come è scritto sembra di no, ma se fosse vero vorrebbe dire (in virtù della tesi, beninteso) che $S_k$ è costante per $k\geq n$. Possibile? In effetti forse anche ì sì, ma volevo esser sicuro di aver interpetrtato bene

I said yes I will yes: i \(c_i\) non dipendono da \(k\). Perciò yes, indirettamente c'è scritto che \(S_k\) è costante per \(k \ge n\).