OliForum Matematico

Da una semifinale della gara a squadre di quest'anno:
Trovare il massimo quadrato perfetto $ q^2 $ tale che $ n^3+3n=q^2 $, con $ n \in \mathbb{N} $ e $ q^2 < 10^5 $.
Qualcuno può darmi un suggerimento per trovare un modo "intelligente" di farlo? Finora sono riscito a dedurre solo che $ 4 \mid q^2 $. Infatti $ n^3+3n \equiv n^3-n \equiv (n-1)\cdot n\cdot(n+1) \pmod{4} $, che è sempre 0 modulo 4 tranne quando $ n\equiv2\pmod{4} \Rightarrow q^2\equiv2\pmod{4} $, ma 2 non è residuo quadratico modulo 4 (o semplicemente perchè la roba a sinistra è sempre pari, ora che ci penso .-.). Analogamente posso dedurre che $ n\not\equiv 2 \pmod{3} $. Posso fare qualche considerazione a partire dal fatto che $ n \mid q^2 $ e $ n^2+3 \mid q^2 $?
Grazie

Beh, dici intanto che $ n (n^2+3)=q^2 $; poi controlli il MCD tra i due fattori e vedi che è 1 o 3, se è 1 entrambinsono quadrati, se no metti $ n=3h $ e ottieni $ h (3h^2+1)=(q/3)^2 $; di nuovo, i fattori sono coprimi, quindi $ h $ è un quadrato, ma da $ n <50 $ ottieni $ h <17 $ e bon hai pochi casi da fare a mano

Drago96 ha scritto:Beh, dici intanto che $ n (n^2+3)=q^2 $; poi controlli il MCD tra i due fattori e vedi che è 1 o 3, se è 1 entrambinsono quadrati, se no metti $ n=3h $ e ottieni $ h (3h^2+1)=(q/3)^2 $; di nuovo, i fattori sono coprimi, quindi $ h $ è un quadrato, ma da $ n <50 $ ottieni $ h <17 $ e bon hai pochi casi da fare a mano

Grazie, anche se avevo detto un "suggerimento" ahahah
Comunque, per accertarmi di aver capito tutto bene, i passaggi sottointesi sono $ (n^2+3,n)=(n^2+3-n\cdot n,n)=(3,n) $ e $ (3h^2+1,h)=(3h^2+1-3h\cdot h,h)=(1,h) $, giusto?

Sì
Ora ti rimangono quei pochi casi per trovare la soluzione xD

Ah, comunque è $ q^2 <10^5 $

Drago96 ha scritto:Ah, comunque è $ q^2 <10^5 $

Hai ragione! A questo punto mi viene $ n=12 \Rightarrow q=42 $. Thanks

Io lo avevo fatto notando che se $n$ ha un fattore primo diverso da 3 deve averlo con esponente pari, quindi $n$ è un quadrato perfetto o il triplo di un quadrato perfetto: nel primo caso va bene solo $n=1$ perché deve essere un quadrato anche $n^2+3$, mentre nel secondo si prova $n=48$ e $n=27$ e si vede che non vanno bene, quindi $n=12$

Io in gara m'ero scordato di rimoltiplicare per 9 (ed era pure il jolly xD)