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Allora, ecco qui un interessante problema dalla gara a squadre, mi sembra il numero 3. Non ho il testo esatto, ma le indicazioni chiave si.

Si vuole fare una collana composta da 17 pietre scelte in qualche modo tra rubini e smeraldi. Sapendo che le collane possono essere ruotate sia nel piano (quindi una disposizione tipo$ RRRRRRRRRRRRRRRRS $ sarebbe uguale a $ SRRRRRRRRRRRRRRRR $) che nello spazio, determinare il numero di possibili collane diverse che si possono formare.

La mia risposta era sbagliata, ma vorrei sapere cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento... io ho considerato tutte le pietre uguali all'inizio, poi, con i coefficienti binomiali, trovavo i modi di "cambiare stato a 1, 2, ..., 17 pietre e dividendo per 17 (le rotazioni, ovviamente le due configurazioni con le pietre uguali non le ho divise, essendo uguali a 1)

La somma con i binomiali non dovrebbe fare $2^{17}$? Quindi in pratica hai fatto $\frac{2^{17}-2}{17}$. Questa idea (contare i modi di preparare collane a meno di rotazioni) è un modo classico, elegante anche se molto indiretto, di dimostrare il piccolo teorema di Fermat (nota la stessa idea funziona per tutti i valori di $p=17$ primi e $a=2$...). In questo esercizio invece si chiede di considerare anche le rotazioni nello spazio, cioè le simmetrie nel piano: quindi alcune collane che tu conti due volte vengono mandate l'una nell'altra con una simmetria e andrebbero contate una volta sola.

Tipo se in una disposizione ho, in ordine, $RSRR$ e in un altra $RRSR$ allora sono uguali?

Esatto, ma anche $ RRSSSRS $ e $ SRSSSRR $