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Non capisco nella soluzione il perchè $ 5 $ , come somma di $ 3 $ numeri ordinati , possa essere fatto in $ {7 \choose 2} $ modi.
E' forse per il seguente motivo?
ho la possibilità di scegliere $ 2 $ addendi dall'insieme $ C $, dove $ C=A+B $ ----- $ A={0,1,2,3,4} $ ---- $ B={0,1} $ . e il terzo addendo è obbligato.
Sapreste se esistono altri modi di vedere il perchè di questo $ {7 \choose 2} $??.....
Esiste forse una formula generale nel contare i modi di scrivere un certo numero $ n $ come somma di $ k $ addendi ordinati ?
Ho notato che se $ k=3 $ vale $ {n+2 \choose 2} $ , e questo potrebbe essere dimostrato utilizzando un ragionamento parallelo che mi porta a contare la somma $ 0+1+.....n+(n+1) $ ... usando quindi la formula $ (n+1)(n+2)/2 $...
Se $ k $ però è $ >2 $ le cose cambiano un po' e non mi ci ritrovo , ad esempio , per $ k=4 $ ( l'ho visto solo per alcuni $ n $ , quindi non son sicuro che funzioni per tutti ) mi pare che valga $ {{n+2 \choose {k-1}} \over 2} $...

Se hai $k$ fattori che hanno esattamente somma $n$, allora la formula per trovare quanti sono i modi ordinati di scegliere questi addendi è ${n+k-1}\choose {k-1}$
Se invece la hai che $n\le x$ allora la formula diventa ${x+k}\choose{k}$.
Spero di non aver fatto errori stupidi XD

Per il perché invece, immagina di avere $n+k-1$ oggetti in fila, i modi di sceglierne $k-1$ come separatori è proprio il modo di scegliere $k$ addendi di somma $n$.
Per il caso che ti ho detto io, con $n \le x$, è come se aggiungessi un separatore, e quindi anche un oggetto alla tua fila; a questo punto l'ultimo addendo, il $n+1$-esimo serve a raccogliere la "parte che manca" a $n$ per arrivare a $x$.
Spero di esserti stato utile

No , scusami non capisco il tuo ragionamento ... che intendi con separatore? Mi fai un esempio pratico?

Allora fai così: hai $n$ oggetti, ad esempio $5$, che devi dividere in $k$ gruppi, ad esempio $3$. Per separare i gruppi usa altri oggetti (considerali uguali a quelli di prima), te ne servono $k-1$. Per distinguere gli oggetti di da dividere da quelli che dividono immagina di colorare quelli che dividono, cioè $k-1=2$. Adesso, in quanti modi puoi scegliere $2$ oggetti tra $7=5+2$? Ma quel $7$ è $n+k-1$ e quel $2$ è $k-1$, quindi...

ok , grazie tutto chiaro ... avevo capito un'altra cosa con separatore

Sono contento che tu abbia capito