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Sia \(f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua.
1. Dimostrare che esistono infinite funzioni continue \(f^+, f^-\) rispettivamente crescenti, decrescenti tali che
\(f(x) = f^+(x) + f^-(x)\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
2. Sia \(\Delta x\) tale che \(x - \Delta x \le x \le x + \Delta x\). Se esistono, trovare in funzione di \(f\) le \(f^+, f^-\) che rispettano la 1 e minimizzano, se un minimo esiste:
\[ E^+(x) = f^+(x+\Delta x) + f^-(x-\Delta x) -f(x) \] \[ E^-(x) = f^+(x-\Delta x) +f^-(x+ \Delta x) - f(x) \]
3. E se sostituiamo \(\mathbb{R}\) con \(\mathbb{N}\)? Ovviamente le funzioni non sono più continue, perchè ecco, non ha senso.

A dirla tutta non ho riflettuto nè sul punto 2 nè sul punto 3 per mancanza di tempo, però mi piacerebbe saperlo.
A che serve tutta questa tiritera? Perchè se abbiamo una funzione non monotona allora possiamo cavarcela alla meglio con le funzioni trovate al punto 2, per massimizzare o minimizzare la funzione.

Forse sono io che sragiono, ma non trovo l' errore nel seguente ragionamento. Ditemi voi!

Per $b>a$ reali definisco $\Delta f[a,b]:=f(b)-f(a)$. Osserviamo che, se vale la tesi, si ha:
$$
\Delta f[a,b]=\Delta f^{+}[a,b]+\Delta f^{-}[a,b]\leq \Delta f^{+}[a,b]
$$
usando la decrescenza di $f^{-}$. Inoltre osserviamo che, per definizione, dati $a<b<c$ si ha:
$$
\Delta f[a,b]+\Delta f[b,c]=\Delta f[a,c]
$$
inoltre per una funzione crescente $f^+$ vale $\Delta f^{+}[a,b]\geq 0$.


Considero ora la funzione $f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$ così definita:
$$
f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
x\, \sin{\left(\frac{\pi}{x}+\frac{\pi}{2}\right)} & \mbox{se } x\neq 0\\
\\
0 & \mbox{se } x=0
\end{array}
\right.
$$
Si vede facilmente che $f$ è continua. Supponiamo che esista $f^{+}$ continua che rispetta le ipotesi e calcoliamo per ogni intero positivo $k$:
$$
\Delta f\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] = \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k} \leq \Delta f^{+}\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right]\qquad (\star)
$$
Consideriamo ora, per ogni intero positivo $2n$:
$$
S_n:=f^+(1)-f^+\left(\frac{1}{2n}\right)=\sum^{2n-1}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]=\sum^{n}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] +\sum^{n}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{2k},\frac{1}{2k-1}\right] \qquad (\star \star)
$$
ora la seconda sommatoria, poichè $f^+$ è crescente, è maggiore o uguale a zero, la prima invece si minora con $(\star)$, ottenendo:
$$
S_n\geq \sum^{n}_{k=1} {\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k}}=\sum^{n}_{k=2} \frac{1}{k}
$$
ma passando al limite per $n\rightarrow +\infty$ in questa relazione si ha che, da una parte, per continuità di $f^+$, $S_n \rightarrow f(1)-f(0)\in\mathbf{R}$, ma dall' altra il membro destro, essendo la serie armonica, diverge a $+\infty$. Assurdo.

Inoltre mi sembra non funzioni anche se $f^+$ non è continua. Infatti comunque, per crescenza, $S_n \leq f(1)-f(0)$.

Concordo con machete: le funzioni che si scrivono in quel modo sono esattamente le cosiddette funzioni BV (http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation), e non è vero che ogni funzione continua è BV; in effetti, l'esempio qui sopra è più o meno il controesempio standard.

Mmm. Mmm. Non capisco perchè
\[\Delta f\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] = \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k} \]
Non mi pare che corrisponda alle definizioni di \(f, \Delta f\). Comunque sono certo che sono ottuso, e la cosa che hai scritto sarà fuor di dubbio ragionevole.
Ma allora non mi quadra questa scelta, per la funzione \(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) (zero escluso) che hai scritto te (ho limitato il dominio per comodità, ma non è sostanziale), ossia \( f(x) = x \sin \left ( \frac{\pi}{x} + \frac{\pi}{2} \right ) \). Scegliamo
\[ f^+(x) = x \sin \left ( \frac{\pi}{x} + \frac{\pi}{2} \right ) + \pi \log x + x = f(x) + h(x) \]
\[ f^{-}(x) = -(\pi \log x + x) = - h(x) \]
Naturalmente \( f^+(x) + f^{-}(x) = f(x) + h(x) -h(x) = f(x) \). Inoltre
\[ \frac{d f^-(x)}{dx} = - \frac{\pi}{x} -1 < 0 \]
\[ \frac{ d f^+(x)}{dx} = 1 + \frac{\pi}{x} \sin \left (\frac{\pi}{x} \right ) + \cos \left ( \frac{\pi}{x} \right ) + \frac{\pi}{x} \]
Visto che \(\forall x \in \mathbb{R} \) vale \(\sin(x), \cos (x) \ge -1\), abbiamo
\[ \frac{ d f^+(x)}{dx} \ge 1 - \frac{\pi}{x} -1 + \frac{\pi}{x} = 0\]
Perciò \(f^+, f^-\) sono rispettivamente crescenti, descrescenti. Cos'è che ho cannato?
P.S. In generale scelgo \(f^+(x) = f(x) + h(x), f^-(x) = -h(x) \) in modo che \( h'(x) \ge \max \{0,-f'(x) \} \). In questo modo \(-h(x)\) è decrescente (perchè \(h'(x) \ge 0\) ), e \( f(x)+h(x) \) è crescente (perchè \( h'(x) \ge -f'(x) \) ).

Uhm, le tue derivate non mi convincono molto... il punto è proprio che il massimo tra 0 e h' potrebbe non essere integrabile (nel senso che potrebbe avere integrale infinito, che dovrebbe essere esattamente quello che succede qui)

E' vero, quanta saggezza, sono stato un po' frettoloso! Modulo conti, ho capito il concetto.
Però che bello, sono ben più contento di questa risposta che di quella che mi aspettavo. Grazie a entrambi!
Per curiosità: è vero anche il contrario? Cioè se invece \(f'(x) \) è limitata allora \(f(x)\) è BV (se ho capito bene si dice così)?

Prima una piccola precisazione sul mio post precedente: ovviamente non è vero che ogni funzione continua sia derivabile, quindi in ogni caso la tua costruzione prendendo $f'(x)$ non aveva troppo senso per funzioni continue qualunque... ma in un certo senso non è questo il punto filosoficamente importante.

Venendo alla tua domanda: sì! Se hai una funzione continua che è derivabile ovunque e la derivata è limitata (su ogni intervallo limitato), allora la funzione è a variazione limitata - o BV, se preferisci. Questa è una conseguenza immediata del teorema di Lagrange: nella definizione di variazione limitata, che puoi per esempio prendere dall'articolo della wiki, basta stimare $|f(x_{i+1})-f(x_i)|$ con $M|x_{i+1}-x_i|$, dove $M$ è il sup del modulo della derivata.