Visto che nessuno posta, intanto scrivo io una soluzione puzzona e un po' barona.
Scelto \(r\) tale che \(2^{r+1} > k\), imponiamo che \( n \not \equiv -1, -2, \ldots, -k \pmod{2^{r+1} } \ \ (*) \).
In questo modo, visto che \( \omega(m)=s \ \ \Rightarrow \ \ 2^s \mid \varphi(m) \), sicuramente la soluzione \(m\) a
\[ \varphi(m) = n+i, \ \ i=1, \ldots, k\]
avrà al più \(r\) fattori primi. Richiamiamo il fatto che la densità asintotica dei numeri \(m\) con \(\omega(m) \le r\), fissato \(r\), è nulla (
qui o
qui) .
D'altronde, i numeri della forma \(\varphi(m)\) con \(\omega(m) \le r\) potrebbero essere anche meno: infatti può capitare che \(\varphi(a) = \varphi(b)\) con \(a,b\) distinti, ma non può capitare \(a=b\) con \(\varphi(a), \varphi(b)\) distinti. Dunque, anche l'insieme \(S_r = \{ \varphi(m): \omega(m) \le r\}\) ha densità asintotica nulla.
Questo fatto si riscrive come
\[ \lim_{n \to \infty } \frac{ S_r \cap [1,n] }{n} = 0\]
Dunque esiste un \(t_k\) tale che, per ogni \(t \ge t_k\) vale
\[\frac{ S_r \cap [1,t] }{t} < \frac{1}{3k} \]
Per comodità, prendiamo un \(\mathcal{l} \ge t_k\) divisibile per \(3k\). Dividiamo l'intervallo \([1, \mathcal{l} ]\) in intervalli lunghi \(3k\): ce n'è almeno uno, diciamo \(I\), in cui non compaiono elementi di \(S_r\), altrimenti la densità di \(S_r\) sarebbe maggiore di \( 1/3k\). La condizione \((*)\) ci "vieta" al massimo \(k\) numeri consecutivi di \(I\); anche se essi fossero al centro, comunque ci sarebbe un intervallo \([a, a+k-1] \subset I\) in cui non compaiono elementi di \(S_r\). Prendendo \(n=a\), otteniamo la tesi.
In realtà, notiamo che questo ci assicura l'esistenza di infiniti \(n\) siffatti. Detto \(n_k\) il numero trovato con questa costruzione, sicuramente \(n_{t_k} > t_k > n_k \) e \(n_{t_k}\) è soluzione anche per il caso \(k\). Iterando questo procedimento, possiamo trovarne infiniti.
Ribadisco, la soluzione è un po' rozza e un po' barona, e con un po' di impegno si può trovare, secondo me, anche una soluzione solo elementare.
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