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Salve,
ricorro al vostro aiuto per questo quesito, la cui risposta riesco ad intuirla ma non riesco a dimostrala:
"Come punizione per aver sfidato gli dei, PSISIFO, fu condannato a fare i conti di combinatoria per 2014 giorni di fila. Gli vennero date 2014 palline e 2014 scatole, sia le palline che le scatole numerate con numeri da 1 a 2014; nel giorno N, per ogni N tra 1 e 2014, egli doveva calcolare il numero di modi diversi disporre le palline nelle scatole, una per scatola, in modo che le palline numerate da 1 a N fossero nelle scatole riportanti il numero corrispondente, e quelle da N+1 a 2014 invece fossero ognuna in una scatola riportante un numero di diverso dal proprio. Per quanti dei 2014 giorni PSISIFO dovette rispondere un numero pari?"

La mia soluzione inizia così:
Analizzando il problema “al contrario” cioè partendo dall’ultimo giorno N=2014, per cui si ottiene come risposta 1 dato che tutte le palline vengono impiegate nella prima fase. Per N=2013, invece, dovendo sistemare le prime 2013 palline nelle scatole giuste, per esclusione la pallina 2014 dovrà essere posizionata nella scatola 2014 con relativa risposta 0.
Adesso ragionando per N<2013, si consideri il numero n=2014-N, e tale numero rappresenta in numero di palline da disporre nelle n scatole senza che alcuna pallina sia nella scatola corrispondente.
Caso N=2012 n=2 , si può disporre le palline in 2! modi a cui togliere il caso in cui le due palline siano ognuna al proprio posto, dal momento che se una è al proprio posto anche l’altra lo sarà, quindi si sottrae (2 2) =1; risposta 2-1=1.
Caso N=2011 n=3, si può disporre le palline in 3! Modi a cui togliere il caso in cui tutte siano al loro posto (3 3), non si considera il caso in cui 2 siano al loro posto perché automaticamente lo sarà anche la terza, mentre si considerano i casi in cui una soltanto sia al posto giusto (3 1) =3 e per ognuno di questi casi esiste solo un modo affinché sia una, ed una soltanto, tra le palline; risposta 3!-1-3=2.
Caso N=2010 n= 4, il modo di procedere è uguale, e si ha 4! modi a cui si sottraggono (4 4) modi in cui tutte le palline sono al posto giusto, dopo saltando il caso delle 3 palline si va al caso delle 2 palline (4 2) e per ognuno dei casi un solo modo per quanto detto prima, ed infine il caso di una pallina (4 1) (anche in questo caso un modo solo per volta????, perché?)
Quindi generalizzando la formula per n>2 si ha:
n!- (n n) - (n n-2) - (n n-3) - ... - (n 1)= n!-2^n+n+1 che da alternativamente numeri pari e numeri dispari.

INFATTI LA RISPOSTA è 1007, vi chiedo lumi circa la risoluzione. Grazie.

Ho risolto il problema con le dismutazioni e la loro definizione per ricorrenza. Appena scrivo per bene il tutto posto un PDF. grazie comunque a tutti!

14 di Voi hanno scaricato il pdf con la soluzione, ma non ho ricevuto né commenti né critiche. Mi interessa un serio confronto, soprattutto nella chiarezza espositiva a livello per ragazzi di 16 anni. Grazie.

L'ho appena letto e ho 16 anni, come volevi. Dal mio punto di vista, se si ha un minimo di conoscenza di questi argomenti, è facile seguire il ragionamento

Anche a me sembra ragionevolmente chiaro. Non ci ho pensato molto, ma sarebbe interessante cercare di farlo senza usare la formula con la sommatoria per le dismutazioni. Magari si riesce a provare la ricorrenza con un argomento combinatorico e fare tutto usando solo quella?

Sempre con il concetto di dismutazioni ma senza la formula, o tramite un percorso totalmente diverso?

Sì, sempre con le dismutazioni, ma pensavo a un modo di evitare di dover calare dal cielo quella formula.

Grazie per i commenti. Avevo provato a risolverlo senza Dismutazioni, ma i calcoli sono troppo onerosi... vedrò di ripensarci, e se nel frattempo qualcuno ha una soluzione migliore la accetto di buon grado. Grazie.