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Sia \(f(x)\) una funzione concava e crescente in \([0,N]\). Dimostrare che
\[ \int_0^N f(x) dx \le \sum_{k=1}^N f(k) \le \int_0^N f(x) dx + \frac{f(N) - f(0)}{2} \]
N.B. Sugli integrali non serve sapere praticamente nulla, se non queste proprietà base (scrivo per chi non li conosce):
1. L'integrale \(\int_a^b f(x) dx\) rappresenta l'area tra la funzione \(f(x)\) e l'asse \(x\), tra \(a\) e \(b\);
2. Dalla definizione intuitiva di sopra, si può vedere facilmente la proprietà \( \int_a^b f(x)dx+ \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x) dx \);
3. Sempre da (1), segue che se \(f(x) \ge g(x)\) per ogni \(x\) in \([a,b]\) allora \(\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx\).
Tutto il resto è fantasia.
Comunque vabè, sarà stranoto, però è un bel fattarello!

Certo che è un bel fatterello!
E ora che lo guardo mi viene in mente questa formulazione, che è più semplice da applicare perché non richiede la concavità!

Dimostrate che per $f:[0,N]\to \mathbb R$ crescente vale
\[
\sum_{i=0}^{N-1}f(i)\leq \int_0^N f(t)dt \leq \sum_{i=1}^Nf(i).
\]

Piccolo commento: questa disuguaglianza si rivela stra-utile per dimostrarne molte altre su somme finite, quindi utili per dimostrare certi limiti interessanti.
Beh, buon divertimento!

Io conoscevo la disuguaglianza di Tess, e l'ho sempre interpretato come banale corollario della definizione di integrale, cioè che prendo i rettangolini sopra e sotto la funzione...
ora però mi viene un dubbio: per dimostrare analiticamente questa cosa, io prenderei $ g _1 (x)=f (\lfloor x\rfloor) $ e $ g_2 (x)=f (\lceil x\rceil) $, in modo che $$ g_1 (x)\le f (x)\le g_2 (x) $$ per la crescenza; inoltre abbiamo $$\int_0^N g_1 (x)dx=\sum_0^{N-1} f (i) $$ perché $ g $ è a scalini di larghezza 1 e altezza pari al valore della funzione, e similmente $$\int_0^N g_2(x)dx=\sum_1^N f (i)$$
Ora, i dubbi: posso integrare una funzione discontinua? Sono realmente vere le due uguaglianze? Perché lascio fuori nella prima il valore $ f (N) $, che viene effettivamente raggiunto, e nella seconda $ f (0) $: è perché in realtà hanno "spessore" infinitesimo, e quindi avendo un valore finito danno un contributo pari a 0?

Drago96 ha scritto:Io conoscevo la disuguaglianza di Tess, e l'ho sempre interpretato come banale corollario della definizione di integrale, cioè che prendo i rettangolini sopra e sotto la funzione...
ora però mi viene un dubbio: per dimostrare analiticamente questa cosa, io prenderei $ g _1 (x)=f (\lfloor x\rfloor) $ e $ g_2 (x)=f (\lceil x\rceil) $, in modo che $$ g_1 (x)\le f (x)\le g_2 (x) $$ per la crescenza; inoltre abbiamo $$\int_0^N g_1 (x)dx=\sum_0^{N-1} f (i) $$ perché $ g $ è a scalini di larghezza 1 e altezza pari al valore della funzione, e similmente $$\int_0^N g_2(x)dx=\sum_1^N f (i)$$
Ora, i dubbi: posso integrare una funzione discontinua? Sono realmente vere le due uguaglianze? Perché lascio fuori nella prima il valore $ f (N) $, che viene effettivamente raggiunto, e nella seconda $ f (0) $: è perché in realtà hanno "spessore" infinitesimo, e quindi avendo un valore finito danno un contributo pari a 0?

Per rispondere in ordine:

• Sì, a volte puoi integrare una funzione discontinua: le condizioni per l'integrabilità variano a seconda dell'integrale (Riemann-Stieltjes, Lebesgue, Denjoy-Henstock-Kurzweil, eccetera); se l'insieme dei punti di discontinuità è finito come in questo caso, la funzione è integrabile.
• Essendo i punti di discontinuità in numero finito, e la funzione costante tra tali punti, qualunque partizione (prendiamola per semplicità di diametro costante) il cui diametro tende a zero sarà composta da una frazione sempre più piccola (tendente a $0$) di intervalli contenenti le discontinuità, e sugli altri intervallini hai aree di rettangoli. Formalmente, se hai una partizione $\sigma=\{ x_0=0,x_1, \ldots, x_k=N \}$ tale che $|x_{i+1}-x_i|<\varepsilon$ per ogni $i$, la differenza tra somma superiore e somma inferiore è maggiorata da $\sum_j |x_{i_{j+1}}-x_{i_{j}}| |f(j+1)-f(j)| <\varepsilon \sum_j |f(j+1)-f(j)| =\varepsilon (f(N)-f(0))$ per crescenza, dove gli $x_{i_j}$ sono gli estremi sinistri degli intervalli che contengono le discontinuità.
• In sostanza sì: se perturbi il valore della funzione in un numero finito di punti-anche agli estremi-il valore dell'integrale non cambia, come ho scritto prima.

Giusto per esercizio, usate queste idee per mostrare che $N!=N^{N+O(1)}e^{-N}$ (e, se avete voglia, mostrate che quell'$O(1)$ è in realtà un $1/2+o(1)$).

Dimostro "senza analisi" la disuguaglianza $\sum\limits_{k=1}^N f(k) \le \int_0^N f(x) dx + \frac{f(N) - f(0)}{2}$ (la prima parte senza analisi l'ho pensata come dice Drago con i rettangolini).

Prendiamo una $f$ che rispetta le ipotesi. Essa passerà per gli $n+1$ punti $(0,y_0),(1,y_1)...(N,y_N)$. Ora, per questi punti possono passare altre funzioni concave; la tesi diventa quindi dimostrare che, dato un insieme di $n+1$ punti come quelli scritti sopra, per cui passa almeno una funzione concava, la disuguaglianza vale per quella tra le funzioni che ha l'integrale minore.
Dati due punti $A=(a, y_a)$ e $B=(b,y_b)$, poco formalmente dico che l'integrale è tanto più piccolo quanto più "si passa in basso". Ma per mantenere concava la funzione non posso passare più sotto del segmento AB, quindi il caso limite (per cui la disuguaglianza deve valere, e mi aspetto un'uguaglianza) è questo, e ora chiamo $f$ questa funzione.

Ora, per ogni coppia di punti $(k, f(k))$ e $(k+1,f(k+1))$, se $f(k),f(k+1) \geq 0$ o $f(k),f(k+1) \leq 0$ l'area è quella di un trapezio con somma delle basi $f(k)+f(k+1)$ e altezza 1, ossia $\frac{f(k)+f(k+1)}{2}$, e questa formula la calcola con segno. Si dimostra che la formula vale anche se $f(k) < 0 < f(k+1)$: senza usare l'analisi, mi basta osservare che in questo caso si formano due triangoli simili e fare i conti ricordando che $f(k) < 0$ ( e quindi nella similitudine va preso col segno meno). Quindi $\int_0^N f(x)dx = \frac{f(0)}{2}+\sum\limits_{k=0}^N f(k) +\frac{f(N)}{2}$

Ora sostituisco e ho: $$ \left(\sum\limits_{k=0}^{N-1} f(k)\right) +f(N) = \left(\sum\limits_{k=0}^{N-1} f(k)\right) +\frac{f(0}{2} + \frac{f(N)}{2} +\frac{f(N)-f(0)}{2}$$ che è un'identità.