OliForum Matematico

Ebbene è estate e il tempo fa schifo e non avete idea di cosa fare... Allora vi inventate due pallosissimi giochi il cui studio matematico però può essere più divertente

a) Con il classico mazzo da 40 carte (o se preferite 52), girate una alla volta le carte fino a quando compare il primo asso; in media quante carte avrete girato prima di ottenerlo??

b) Sempre con il classico mazzo prendete a caso metá delle carte e le disponete in cima al mazzo nell'ordine in cui si trovavano rispettivamente anche prima (per esempio con 6 carte numerate da 1 a 6 in ordine crescente verso il basso pigliate per esempio la 1 la 3 e la 5, le mettete in cima e l'ordine passa da 1 2 3 4 5 6 a 1 3 5 2 4 6).
Quante carte in media non hanno cambiato la loro posizione assoluta (in questo caso la 1 e la 6 hanno conservato rispettivamente la prima e l'ultima posizione)???

Mmm, rispondo al punto a).
Coloriamo gli assi di rosso e tutte le altre carte di blu. I valori delle carte ce li possiamo pure scordare.
Le configurazioni in cui una carta rossa è alla \(k\)-esima posizione sono \( \displaystyle \binom{40-k}{3}\), ossia i modi di disporre le rimanenti \(40-k\) carte, di cui 3 rosse.
Il valore atteso di \(k\) si ottiene dunque con una sorta di media dei possibili valori pesati secondo la probabilità che escano, ossia:
\[ \binom{ 40}{4} ^{-1} \sum_{k=1}^{37} \binom{40-k}{3} k = \binom{ 40}{4} ^{-1} \sum_{k=3}^{40} \binom{k}{3} (40-k) = \binom{ 40}{4} ^{-1} \left ( 41 \sum_{k=3}^{40} \binom{k}{3} - 4 \sum_{k=4}^{41} \binom{k}{4} \right )= \binom{ 40}{4} ^{-1} \left ( 41 \binom{41}{4} - 4 \binom{42}{5} \right ) = \]
\[ = \binom{ 40}{4} ^{-1} \binom{41}{4} \left ( 41- 4 \frac{42}{5} \right ) = \frac{41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{ 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 } \frac{37}{5} = \frac{41}{5} \approx \boxed{8} \]

Mi piace questa soluzione anche se purtroppo non saprei dirti se è corretta
Anche se comunque credo che non faccia neanche una piega

Io provo col punto b)

Scelgo quindi $20$ carte e siano $a_1, a_2, \cdots , a_{20}$ le loro posizioni assolute (con $1\leq a_1<a_2<\cdots <a_{20}\leq 40$ e $a_i\geq i$). Per ogni carta di posizione $a_i$ spostata sulla cima del mazzo sposto verso il basso tutte le carte dalle posizioni che vanno dalla $i$ alla $a_i$, quindi rimangono invariate tutte le carte nelle posizioni $j>a_{20}$, che non vengono coinvolte nello scambio, e tutte le carte nelle posizioni $a_1, a_2, \cdots , a_i$ se $a_i=i$ e $a_{i+1}>i+1$, infatti in tal caso, per ogni $j\leq i$, allora $a_j=j$.
Per ogni $(a_1, a_2, \cdots , a_{20})$ definiamo due numeri $M$ ed $m$ tali che:

• $M=a_{20}$;
• $m$ è il più grande intero tale che $a_m=m$ e, se tale numero non esiste, allora $m=0$.

Se $m=20$, allora anche $M=20$ e allora tutte le carte conservano la loro posizione. Se invece $m<20$, allora $M>20$ e possono essere scelte altre ${\displaystyle \binom{M-m-1}{19-m}}$ carte per lo spostamento, ed esattamente $m+40-M$ carte conserveranno la loro posizione. Il valore medio corrisponde alla serie:
$$
\binom{40}{20}^{-1}\left [\sum^{40}_{M=21}\left (\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{19-m}(m-M+40)\right )+40\right ]
$$
e risolviamo le sommatorie una alla volta:
$$
\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{19-m}(m-M+40)=\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}(m-M+40)=40\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}-\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}(M-m)=$$
$$
=40\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}-(M-19)\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m}{M-19}=40\sum^{M-1}_{m=M-20}\binom{m}{M-20}-(M-19)\sum^{M}_{m=M-19}\binom{m}{M-19}=
$$
$$
=40\binom{M}{M-19}-(M-19)\binom{M+1}{M-18}=40\binom{M}{19}-(M-19)\binom{M+1}{19}
$$
e con la seconda sommatoria:
$$
40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-\sum^{40}_{M=21}(M-19)\binom{M+1}{19}=40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-\sum^{40}_{M=21}(M+2-21)\binom{M+1}{19}=
$$
$$
=40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-20\sum^{40}_{M=21}\binom{M+2}{20}+21\sum^{40}_{M=21}\binom{M+1}{19}=40\left [\binom{41}{20}-\binom{21}{20}\right ]-20\left [\binom{43}{21}-\binom{23}{21}\right ]+21 \left [\binom{42}{20}-\binom{22}{20}\right ]
$$
e risolvendo tali binomiali e continuando la formula otteniamo il valore medio. Dato la lunghezza del ragionamento temo di aver fatto qualche errore con i calcoli, ma credo che l'impostazione sia corretta.