OliForum Matematico

Il problema che non mi da pace è il seguente, e non riesco a venirne a capo:
" Determinare la minima somma di tre interi positivi DISTINTI, tali che presi a due a due la loro somma sia sempre un cubo perfetto" .
Grazie ragazzi

Siano $a,b,c$ i tre numeri cercati. Valgono $z^3=a+b;y^3=a+c;x^3=b+c$, quindi $a+b+c=\frac{x^3+y^3+z^3}{2}$, $x^3+y^3+z^3$ è pari e valgono le triangolari su $x^3,y^3,z^3$ ($z^3<x^3+y^3$ ecc...). È facile osservare che queste condizioni sono equivalenti all'ipotesi (si verifica che tornando indietro otteniamo $a,b,c$ interi [condizione sulla parità] e positivi [triangolari]). Un po' a spanne si può vedere che i più piccoli cubi che soddisfano sono $343, 512, 729$ (credo), quindi il valore cercato è $\frac{343+512+729}{2}=792$.

Bene, la risposta è corretta, ma in tutta franchezza non riesco ad afferrare il fatta che valgano le proprietà triangolari. Perché?

Si ci sono, che stupido! Grazie mille! Non avevo proprio visto quelle maledette proprietà triangolari. Grazie ancora!