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Dopo aver a lungo meditato, propongo il nuovo probema della staffetta:

Sia $ ABC $ un triangolo e $ P,P' $ due punti coniugati isogonali al suo interno. Siano $ A_1,B_1,C_1 $ le proiezioni di $ P $ sui lati $ BC,CA,AB $ e $ A_2,B_2,C_2 $ le seconde intersezioni del cerchio $ \odot(A_1B_1C_1) $ rispettivamente con i cerchi $ \odot(A_1PP') $ e ciclici.
Dimostrare che le rette $ AA_2,BB_2,CC_2 $ concorrono.

Edit: ora mi funziona, non so cosa avessi fatto...

Per non ripetere l'esperienza del problema 61, mi sento di intervenire per ridestare l'interesse su questo esercizio.
Chi volesse risolverlo, potrebbe pensare la seguente cosa: Dopo avere pensato la tal cosa, la strada per la soluzione è in discesa.

Dopo altri dieci giorni, riconosco che il problema non deve aver destato interesse. Per chi fosse interessato, di seguito riporto come si può concludere a partire da quanto ho già scritto.
Per dimostrare che dato $ Q $ arbitrario su $ PO $ (dove $ O $ è il circocentro di $ A_1B_1C_1 $) le rette $ AA_2 $ e cicliche concorrono (con $ A_2 $ e ciclici definiti come nel testo, sostituendo $ Q $ a $ P' $), si può invertire in $ P $. Prendendo come triangolo referenziale quello con vertici le immagini di $ A_1,B_1,C_1 $, $ ABC $ diviene il triangolo pedale di $ P $ e $ A_2B_2C_2 $ il triangolo circumceviano di $ Q $ (tutto ciò rispetto alla figura invertita, ovviamente); l'ipotesi che la retta $ PQ $ passa per il circocentro di $ A_1B_1C_1 $ viene mantenuta e la tesi è: i cerchi $ \odot(APA_2) $ e ciclici sono coassiali. Il problema nella sua nuova forma è stato trattato nelle lezioni del Senior, come ho scritto sopra.