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Mostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono interi $x,y,z$ tali che
$$x^2+2y^2+4z^2=3^{2n+1}.$$

La mia soluzione procede per induzione su $n$ (sebbene sia solo una formalizzazione, non strettamente necessaria per la dimostrazione).
Passo base: si verifica facilmente a mano che per $n=1$ una terna $(x,y,z)$ che verifica è $(5,1,0)$.

Passo induttivo: Voglio dimostrare che data una soluzione $(x_k,y_k,z_k,n_k)$ si può sempre trovare una soluzione $(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1},n_{k}+1)$.

Per ipotesi induttiva sappiamo che vale
$$x_k^2+2y_k^2+4z_k^2=3^{2n_k+1}$$
Moltiplichiamo ora entrambi i membri per $9$
$$9\cdot x_k^2+9\cdot2y_k^2+9\cdot 4z_k^2=9\cdot 3^{2n_k+1}\Rightarrow (3x_k)^2+2(3y_k)^2+4(3z_k)^2=3^{2(n_k+1)+1}$$
E quindi basta porre banalmente $x_{k+1}\leftarrow 3x_k$, $y_{k+1}\leftarrow 3y_k$ e $z_{k+1}\leftarrow 3z_k$ per concludere.

P.S. ma allo stesso modo non si potevano aggiustare anche i casi con esponente pari, con la soluzione-base $(1,2,0)$?

Si va bene cosi; una prima variante:

"Mostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono interi positivi $x,y,z$ tali che $\text{gcd}(x,y,z) \le 3$ e $x^2+2y^2+4z^2=3^{2n+1}$"