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Caratterizzare i numeri \(n \in \mathbb{N}\) tali che \( \varphi(n) \mid n\) (easy!).

Per chi non lo sapesse, $\varphi(n)$ è il numero di interi minori di $n$ e primi con $n$, incluso l' $1$ (Es. $\varphi(10)=4\leftrightarrow \{1, 3, 7, 9\}$).

$n=p_1^{a_1}\cdotp p_2^{a_2}\cdotp \ldots \cdotp p_m^{a_m}$
Allora $\varphi (n)=n(\frac {p_1-1} {p_1})\cdotp \ldots \cdotp (\frac {p_m-1} {p_m})$
Osserviamo che per $n$ dispari, $\varphi (n)$ è pari con $n\ge 2$, infatti $p_q-1$ sarebbe pari, con $1\le q\le m$
In quel caso dunque $\varphi (n)\nmid n$
Quindi $n$ pari
Sia $n=2^a\cdotp d$ con $d$ dispari
Allora $\varphi (2^a\cdotp d)=2^{a-1}\varphi (d)$
Deve valere $\varphi (d)\mid 2d$

Ora, se $d$ avesse più di $1$ fattore primo dispari allora varrebbe $4\mid \varphi (d)\nmid 2d$
Quindi $2^{a+1}\mid \varphi (n)\nmid n$

Ma allora $n=2^ap^b$
$2^{a-1}\varphi (p^b)\mid 2^ap^b$
$\varphi (p^b)\mid 2p^b$
Ma $\varphi (p^b)=p^{b-1}(p-1)$
Deve valere $p^{b-1}(p-1)\mid 2p^b$
Cioè $p-1\mid 2p$
Ma $p-1\nmid p$
Quindi deve essere $p-1\mid 2$
Da cui $p=2,3$
Ci interessa $3$ perchè dispari

Dobbiamo solo gestire il caso $d=1$
$\varphi (2^a)=2^{a-1}\mid 2^a$

Quindi $n=2^a$
O $n=2^a\cdotp 3^b$

Verifico le soluzioni
$\varphi (2^a)=2^{a-1}\mid 2^a$
$\varphi (2^a\cdotp 3^b)=2^a\cdotp 3^{b-1}\mid 2^a\cdotp 3^b$
Con $a\ge 1,b\ge 0$

Aetwaf, la soluzione è corretta. Ma c'è più della correttezza in una soluzione! Cerca di farla bella, insomma, hai una cosa interessante tra le mani, non te la bruciare con frasi lapidarie e confuse! Prova a fare delle frasi complete, a far capire con la struttura della dimostrazione dove vuoi arrivare! Ti consiglio di leggerti questo:
http://www.artofproblemsolving.com/Reso ... howtowrite
Naturalmente te lo dico in tutta amicizia! Vedrai che lo sforzo verrà apprezzato, e avrai anche dei risultati. Anche perchè delle soluzioni più impegnative, magari di qualche pagina, in questo modo non hai proprio la possibilità di scriverle.

Grazie mille per i consigli

Guarderò quel link