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Siano dati tre reali positivi $ a,b,c $ che soddisfano la condizione: $ a+b+c+1=4abc $. Dimostrare:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3 $

Non dovrebbe essere troppo difficile (per bilanciare il livello dei problemi che purtroppo girano sul forum da un pò (e soprattutto nelle staffette)), quindi chiedesi ai più pro di non bruciarlo subito.

Generalizzazione come hint/bonus:

Divido in due casi:
1) Se $ abc < 1 $ ( e quindi $ \dfrac{1}{abc} > 1 $ )
Applicando Cauchy-Schwarz (Lemma di Titu) alle terne $ (a,b,c) $ e $( \dfrac{1}{a} , \dfrac{1}{b} , \dfrac{1}{c} ) $ e utilizzando che $ \dfrac{1}{abc} > 1$ si ha
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{ ( \sum\limits_{cyc} 1 )^2 }{ \sum\limits_{cyc} a} = \dfrac{9}{ (k+3)abc - k } > \dfrac{9}{3} = 3
\end{equation}
2) Se $ abc \geq 1 $ ( e quindi $ a+b+c \geq 3 $ )
La tesi equivale a $ ab + bc + ac \stackrel{?}{\geq} 3abc $ che a sua volta equivale a
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9a^2b^2c^2
\end{equation}
moltiplicando LHS per $(k+3) $ e LHS per $ \dfrac{a+b+c+k}{abc} $ , tanto sono uguali, si ha che la tesi, ancora equivale a
\begin{equation}
(k+3)( \sum\limits_{cyc} a^2b^2 ) + 2kabc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 3( \sum\limits_{cyc} a^2bc ) + 9kabc
\end{equation}
Ora, per bunching, si ha che $ 3 \sum\limits_{cyc} a^2b^2 \geq 3 \sum\limits_{cyc} a^2bc $ , quindi basta dimostrare che
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc
\end{equation}
Quindi, ancora, basta $ 3abc ( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc $ ovvero $ a+b+c \geq 3 $ , che è vera in quanto si è supposto $abc \geq 1$.
Spero di non aver commesso errori

karlosson_sul_tetto ha scritto:[...] quindi chiedesi ai più pro di non bruciarlo subito.

Come non detto.

Il caso 1 è abbastanza inutile: infatti per medie pesate $ \frac{1}{k+3}a+\frac{1}{k+3}b+\frac{1}{k+3}c+\frac{k}{k+3}\cdot 1\geq \sqrt[k+3]{abc\cdot1^k} $, da qua usando l'ipotesi $ a+b+c+k=(k+3)abc $, ottengo $abc\geq 1$

A parte un typo su LHS/RHS, va bene, vai pure con il prossimo

Ma io mica sono un pro..