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Vogliamo dimostrare per prima cosa che $pol_{\omega}(P) = QR$ e cicliche . Lo dimostreremo solo per $P$ ma vale lo stesso anche per Q ed R (infatti non importa se P sia interno od esterno alla circonferenza...la dimostrazione vale infatti anche per 4 punti non ordinati su una circonferenza).

(scriverò $pol(X)$ riferendomi sempre a $\omega$ senza scriverlo ogni volta)
Dunque, definiamo i punti $K,J$ come
$K= pol(AB)$
$J=pol(CD)$
Siccome $P\in AB=pol(K)$ e $P\in CD= pol(J)$ per il teorema di La Hire:
$K \in pol(P)$ e $J \in pol(P)$
Essendo $K$ e $J$ distinti, allora $pol(P) = KJ$.

Vogliamo quindi dimostrare che $K, J, Q, R$ allineati.
Per il Teorema di Pascal applicato ai punti $A, A, C, B, B, D$ i punti $K, R, Q$ sono allineati.
similmente applicandolo ai punti $C, C, A, D, D, B$ si ha che i punti $J, R, Q$ sono allineati.
Quindi come volevasi dimostrare $pol(P) = QR$ e cicliche.

(Ho pagato uno ed adesso prendo 3....)

1) Quello dimostrato implica che $OP \perp QR$ e cicliche per definizione di polare.
Quindi i quattro punti $P,Q,R,O$ formano un sistema ortocentrico poichè presi due punti, la retta per essi è sempre perpendicolare alla retta per gli altri due.

2) Come sono definiti i Punti di Miguel? Centri di rotomotetia di cosa?
(però tanto dici che è equivalente al fatto 3 ...quindi faccio il 3)

3) Se $QR=pol(P)$, allora $P'$ è l'inverso rispetto ad $\omega$ di $P$. (e cicliche con $R, R' e Q, Q'$).
I punti $A,D,P$ sono allineati. Invertendo rispetto ad $\omega$ $A$ e $D$ sono fissi, mentre $P$ va in $P'$ e la retta per $ADP$ va in una circonferenza per $A,D,P',O$, da cui segue la ciclicà di questi punti.
Allo stesso modo seguono le altre ciclicità dagli allineamenti di $CDP, ADQ, BCQ, ACR, BDR$.

4)Siccome l'inversione mantiene gli angoli invariati, tali circonferenze sono "perpendicolari" ad $\omega$ se sono fisse rispetto ad inversione.
Chiamiamo $\Gamma$ la circonferenza con diametro $PQ$. Dal punto 1) sappiamo che $\widehat{PP'Q}=\widehat{PQ'Q}=\frac{\pi}{2}$, quindi $P,P',Q,Q'$ sono conciclici in $\Gamma$.
Con l'inversione rispetto ad $\omega$ sappiamo che $\Gamma$, in quanto passante per $P,P', Q, Q'$ andrà in una circonferenza passante per gli inversi di quei punti, cioè $P', P, Q', Q$ che è $\Gamma$. (Sovrabbondanza di ipotesi.... avevamo oltre questi 4 punti anche i due fissi che stanno su $\omega$).
Idem per le altre due circonferenze.

FINE

PS:
C'era una soluzione più "armonica" in cui si usa direttamente il lemma della polare, oppure intendevi il Teorema di La Hire? ($A \in pol(B) \Leftrightarrow B \in pol(A)$)