OliForum Matematico

Dimostrare che per tutti gli interi positivi $ n $ si ha che
\begin{equation}
\left\lfloor (2+ \sqrt{3})^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2}
\end{equation}

Sperando di non sbagliare...
Nello sviluppo di $(2+\sqrt{3})^n$ ogniaddendo tranne l'ultimo conterrà una potenza di $2$ e quindi sarà congruo a $0$ modulo $2$. Ci sara poi un $\sqrt{3}^n$, la cui parte intera è sempre dispari, da cui la tesi.

Ehm, $2\cdot\sqrt3 $ non è molto intero...

E poi $ 46 < ( \sqrt{3} )^7 < 47 $

Bello, non so se la soluzione vostra è simile alla mia..

Penso sia l'unica soluzione bella, probabilmente anche l'unica possibile...
Non l'avevi mai visto?

P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD

Per lo stesso motivo per cui l'hai fatto tu

Drago96 ha scritto:Penso sia l'unica soluzione bella, probabilmente anche l'unica possibile...
Non l'avevi mai visto?

P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD

perchè l'altro non mi piaceva haha comunque c'è anche una soluzione che non usa le Pell (e che piacerà sicuramente molto a scambret)

P.S: scambret, posteresti la tua soluzione?

No, mai visto ma quando l'ho visto e ho visto l'andamento di $(2-\sqrt{3})^n$ ho pensato subito alle Pell..

Bon, consideriamo la Pell $x^2-3y^2=1$. Dato che $(x,y)=(2,1)$ è la fondamentale, sappiamo che

$$x_n =\frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$$

e l'altra che non scrivo per $y_n$ risolvono la Pell.

Beh quindi $x_n$ è intero e brutalmente $B_n=(2-\sqrt{3})^n$ è un numero maggiore di 0 e minore di 1. Dunque chiamando $C_n$ (non nomino cose con $A$ che a me non legge la $A$, chissà perché..) il numero $(2+\sqrt{3})^n$ otteniamo $B_n+C_n=2k_n$ perciò $C_n =2k_n - B_n$ e dunque $2k_n-1<C_n <2k_n$ da cui la tesi.

scambret ha scritto:otteniamo $B_n+C_n=2k_n$

L'avevi chiamato $x_n$, ma va beh...
Senza scomodare Pell (ma in realtà è comunque la stessa idea), dici che $X_n=(2+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3$ e $Y_n=(2-\sqrt3)^n=\overline{X_n}=a_n-b_n\sqrt3$ con $a,b$ interi; ma allora $X_n+Y_n=2a_n$.
Però era $\left\lfloor(2+\sqrt3)^n\right\rfloor=X_n+Y_n-1$ perché $0<Y_n<1$, fine.

Visto che ci siamo posto anche io:
Prendo la successione $ x_{n+2} = 4x_{n+1} - x_n $ con $ x_0 = 2 $ e $ x_1 = 4 $ , ho che $ x_n $ è pari per ogni $ n $ , e per la formula di risoluzione
\begin{equation}
x_n = ( 2 + \sqrt{3} )^n + ( 2 - \sqrt{3} )^n
\end{equation}
Ora $ 0 < ( 2 - \sqrt{3} )^n < 1 $ , quindi si ha (ricordando che $ x_n $ è pari ) che $ \left\lfloor ( 2 + \sqrt{3} )^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2} $

Ma alla fine sono sostanzialmente la stessa cosa