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Siano \( p_1, \ldots, p_k\) interi positivi qualunque. Dimostriamo che \(\forall c \in \mathbb{R}^+\) si ha \(f(n) < cn\) definitivamente.
Ubi sunt. Fissiamo un \(n \) naturale. Sia \(m=\sum_{i=1}^k a_i^{p_i}\) per alcuni \(a_i\), con \(1 \le m \le n\). Sicuramente \( 0 \le a_i \le n^{1/p_i}\), perchè \( (n^{1/p_i} )^{p_i} = n \ge m \ge a_i^{p_i} \). Perciò al variare di \( a_i \in \{1, \ldots, n^{1/p_i} \}\) la somma \(a_1^{p_1}+ \ldots + a_k^{p_k} \) assume tutti i valori "assumibili" tra 1 e \(n\).
Quanti sunt. Considerando che per ipotesi
\[ \left ( \frac{1}{k} \sum \frac{1}{p_i} \right )^{-1} > k \ \ \leftrightarrow \ \ \frac{1}{k} \sum \frac{1}{p_i} < \frac{1}{k} \ \ \leftrightarrow \ \ \sum p^{-1} -1 = \alpha < 0 \ (*) \]
Sappiamo che, sfruttando il fatto che i possibili assegnamenti agli \(a_i\) sono \(n^{1/p_i}\):
\[ 0 \le \frac{f(n)}{n} \le \frac{ n^{\sum p_i^{-1} } }{n} = n^{\sum p_i^{-1} -1 } = n^{\alpha} \rightarrow 0 \]
per l''ipotesi \( (*)\). Perciò, per il teorema dei caramba, \(f(n) < cn\) definitivamente per ogni \(c>0\).