OliForum Matematico

Premetto che non l'ho risolto (e non ho idea se abbia soluzione ancora) ma mi sta ossessionando da un po'. Qualcuno sa se c'è della letteratura/se risolvere questo: esistono $4$ quadrati distinti in progressione aritmetica?

Nope, non esistono: la cosa è abbastanza nota ed è dovuta a Fermat. Si può fare in modo elementare, ma non è banale. Come hint, ti posso dire che si fa

Grazie mille!

Come letteratura, questo potrebbe aiutare http://maths.mq.edu.au/~alf/SomeRecentPapers/183.pdf

Premetto che non ho letto il documento postato. Ho trovato un modo che mi pare troppo facile...
Supponiamo vera la tesi e siano $a^2,b^2,c^2,d^2$ i quadrati nella progressione di ragione $r$.
Ovviamente
$b^2=a^2+r, c^2=a^2+2r, d^2=a^2+3r$.
Da queste
$r=b^2-a^2=\dfrac{c^2-a^2}{2}=\dfrac{d^2-a^2}{3}$.
Dal primo e secondo risultato abbiamo
$2b^2-a^2-c^2=0$
e dal primo e terzo
$3b^2-2a^2-d^2=0$.
Sottraendo da quest'ultima l'uguaglianza precedente otteniamo che
$b^2=a^2+r=a^2+c^2+d^2$
e quindi
$r=c^2+d^2$.
Se sostituita nell'uguaglianza di $c^2$ ci da
$a^2+c^2+2d^2=0$
e quindi
$a^2,c^2,d^2=0$
assurdo perché devono essere distinti.
È sbagliata?

Non l'ho vista nei dettagli, ma mi sembra che tutto quello che stai usando dei quadrati sia che sono positivi. Quindi se rimpiazzi $a^2=A$ e cicliche hai dimostrato che non ci sono quattro interi positivi $A,B,C,D$ in progressione aritmetica (neppure di ragione 0).

Ora che hai un controesempio, puoi sostituire per esempio a^2=b^2=c^2=d^2=1, r=0 e vedere qual è la prima uguaglianza che smette di essere vera...

Ehm... hai ragione, ho sbagliato un conto...

Succede! Più che altro era per farvi vedere questo metodo di analizzare le dimostrazioni chiedendovi "ho usato tutte le ipotesi? Ho dimostrato qualcosa di più forte? Cosa succede in questo caso particolare?"