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Cercando problemi per la staffetta, sono incappato in questo, che a prima vista è strano, ma in realtà è facile, quindi sta fuori dalla staffetta xD
Determinare tutte le $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tali che $$2f(x)=f(x+y)+f(x+2y)$$ per ogni $x$ reale e ogni $y$ non-negativo

Come al solito, indichiamo con $ P(x,y) $ la proposizione $ 2f(x)=f(x+y)+f(x+2y) $.
Da $P(x,y)$ e $P(x,2y)$ abbiamo:
$$
2f(x)=f(x+y)+f(x+2y) \\
2f(x)=f(x+2y)+f(x+4y)
$$
Confrontando, otteniamo $ f(x+y)+f(x+2y)=f(x+2y)+f(x+4y) $, ossia
$$
f(x+y)=f(x+4y) \quad (*) \qquad \forall(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+
$$
Dimostriamo ora che, dati $a<b \in \mathbb{R} $, vale $f(a)=f(b)$. Poniamo $y=\frac{b-a}{3},x=a-y$ e, sostituendo in $(*)$, otteniamo
$f(a)=f(a+3y)=f(b)$.
Dunque $f(x)=c \quad \forall x \in R$, che effettivamente soddisfa.

Viene da qualche test inglese vero? L'ho risolta ieri

Ahah
Boh, su aops la danno come tst rumeno 2011/1

scambret ha scritto:Viene da qualche test inglese vero? L'ho risolta ieri

Drago96 ha scritto:Ahah
Boh, su aops la danno come tst rumeno 2011/1

Strano, di solito gli inglesi propongono problemi nuovi.