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Iniziamo col calcolare $\frac{A_{4}B}{A_{4}C}$. Dalle similitudini di $\Delta A_{3}BA_{4}$ e $\Delta A_{3}CA_{2}$ ricaviamo:
$$BA_{4}=CA_{2} \frac{BA_{3}}{A_{3}A_{2}}$$
e simmetricamente
$$CA_{4}=BA_{2} \frac{CA_{3}}{A_{3}A_{2}}$$
Da cui
$$\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{A_{3}B}{A_{3}C}$$
Ora, dal teorema dei seni su $\Delta A_{3}BC_{1}$ si ricava (poste $l_{A}$ e cicliche le lunghezze dei segmenti di tangenza del triangolo $\Delta ABC$):
$$\frac{BA_{3}}{ \sin{\frac{\pi - \alpha}{2}}}= \frac{l_{B}}{\sin{\frac{\beta - \gamma}{2}}}$$
e simmetricamente
$$\frac{CA_{3}}{ \sin{\frac{\pi + \alpha}{2}}}= \frac{l_{C}}{\sin{\frac{\beta - \gamma}{2}}}$$
Da cui
$$\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{A_{3}B}{A_{3}C}=\frac{l_{B}}{l_{C}}$$

A questo punto basta notare che

$$\frac{\sin{\widehat{BAA_{4}}}}{\sin{\widehat{A_{4}AC}}}=\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{l_{B}}{l_{C}}$$

per concludere con Ceva trigonometrico.