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Sia $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ t.c. $f(ab) \geq f(a)+f(b)$ per ogni a,b diversi da 0.

Dimostrare che $f(a^2)=2f(a) \Leftrightarrow f(a^n)=nf(a)$ per ogni a intero e n positivo.

Procediamo per induzione up and down su $n$ (che bello vedere che finalmente serve a qualcosa )!

1. Il caso base è ovviamente $f(a^2)=2f(a)$

2. Supponendo che la tesi sia vera per $n$, la dimostriamo per $2n$:
$$f(a^{2n})=f((a^n)^2)=2f(a^n)=2nf(a)$$
Dove al terzo passaggio abbiamo sfruttato il caso base e al quarto il passo induttivo.

3. Supponendo che la tesi sia vera per $n$, la dimostriamo per $n-1$:
$$nf(a)=f(a^n)=f(a^{n-1}\cdot a)\geq f(a^{n-1})+f(a)\Rightarrow f(a^{n-1})\leq (n-1)f(a)\ \ \ \forall\ n,a\in\mathbb{Z^2}$$
Ma visto che vale anche:
$$f(a^{n-1})\geq f(a^{n-2})+f(a)\geq f(a^{n-3})+f(a)+f(a)\geq...\geq (n-1)f(a)$$
Siamo nel caso d'uguaglianza $f(a^{n-1})=(n-1)f(a)$, e quindi la tesi è dimostrata per ogni $n$ per induzione.