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Sia $ f_0(x) = x(1-x) $.
Definiamo $ f_{i+1}(x)=f_i(x^2)+f_i(2x-x^2) $.

Dimostrare che $ f_n(x) $ e' concava per ogni $ n \in \mathbb N $.

Ci provo per induzione sugli indici.
Passo base: $f_0(x)$ è concava. La derivata seconda di $f_0$ è
\[f_0''(x)=-2,\]
quindi sono a posto.
Passo induttivo: mi basta dire che se $f_i(x)$ è concava, allora lo sono anche $f_i(x^2)$ e $f_i(2x-x^2)$, e che se lo sono queste due lo è anche $f_{i+1}(x)$. Quest'ultimo passaggio è banale, difatti
\[f_i(x^2)\le0 \wedge f_i(2x-x^2)\le0 \Rightarrow f_{i+1}(x)=f_i(x^2)+f_i(2x-x^2)\le0.\]
Ora chiedo il vostro aiuto: come faccio a dimostrare che se $f_i(x)$ è concava lo sono anche $f_i(x^2)$ e $f_i(2x−x^2)$? Esiste un criterio che stabilisce la convessità/concavità di una composizione di funzioni delle quali si conoscono concavità e convessità? Grazie in anticipo.

C'è questo, se vuoi. Supponi tutto sia derivabile due volte. Derivando due volte $h(x) = f(g(x))$, hai $h'' = f''(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)$; il primo addendo è chiaramente positivo, il secondo lo è solo se f è pure crescente. Quindi questo dimostra: se $f,g\in C^2$ sono convesse e $f$ è crescente, allora $f\circ g$ è convessa. Non è un se e solo se.