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Chiamo K l'intersezione tra la bisettrice di $ \hat{A} $ e $ BC $. Dalla similitudine di $ ABK $ e $ BYM $ $ \frac{BY}{BM}=\frac{AB}{BK} $. Teorema della bisettrice $ \frac{AB}{BK}=\frac{AC}{CK} $. Similitudine tra $ AKC $ e $ XMC $, $ \frac{AC}{CK}=\frac{XC}{MC} $. Quindi $ \frac{BY}{BM}=\frac{XC}{MC} \Longrightarrow BY=CX $.
$ AXY $ è isoscele($ XY $ forma angoli uguali con $ AC $ e $ AB $ perchè è parallelo alla bisettrice).
Ora se uso $ Y $ come centro di simmetria $ Z $ va in $ X $ e $ B $ va in un punto $ B' $. $ D $ va in $ D' $ intersezione di $ B'X $ e $ CY $. Per quanto visto prima $ B'Y=XC $ e $ AY=AX $ quindi $ YX \parallel B'C $, $ CXYB' $ trapezio isoscele, inscrivibile e $ \hat{XYD'}=\hat{YXD'} $(insistono su corde congruenti). Quindi $ XYD' $ è isoscele, allora anche il corrispondente $ YDZ $ è isoscele. Allora $ \hat{BDY}=2\hat{DZY} $ (angolo esterno) e la bisettrice di $ \hat{D} $ è parallela a $ XY $.